பேயீஸ்-ன் தேற்றம் (Bayes' Theorem)

பேயீஸ்-ன் தேற்றம் (Bayes' Theorem)

இங்கிலாந்து நாட்டைச் சேர்ந்த தாமஸ் பேயீஸ் என்பவர் புள்ளியியலாளர் மற்றும் தத்துவ ஞானி ஆவார். பேயீஸின் தேற்றமானது, சோதனை நிகழ்வதற்கு முன்பான நிகழ்தகவு மற்றும் நிபந்தனை நிகழ்தகவினைச் சோதனைக்குப்பின் காணவேண்டிய நிபந்தனை நிகழ்தகவுடன் இணைக்கப் பயன்படுகிறது. பல நிகழ்தகவுகளின் புரிதலுக்கு பேயீசியன் நிகழ்தகவு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றம் 12.11 (பேயீசியன் தேற்றம்)

A1, A2, A3,..., An என்ற ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகவும் மேலும் P(Ai) > 0, i = 1,2,3,....n மற்றும் B என்பது

ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சியாகவும் மேலும் P(B) > 0, எனில்

நிரூபணம்

B -ன் நிகழ்ச்சியின் கூட்டு நிகழ்தகவு விதிப்படி,

P(B) = P(A1) • P(B / A1) + P(Ą2) • P(B / Ą2) + … + P(An) • P(B / An)

பெருக்கல் தேற்றத்தின்படி P(Ai∩B) = P(B/Ai) P(Ai)

சார்பு நிலை நிகழ்தகவின் வரையறைப்படி,

(சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி)

மேலே உள்ள சூத்திரமானது P(Ai/B) மற்றும் P(B/Ai) க்கும் இடையான தொடர்பை வழங்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 12.26

ஒருதொழிற்சாலையில் இயந்திரங்கள் I மற்றும் II என இருவகைகள் உள்ளன. இயந்திரம்-I தொழிற்சாலையின் உற்பத்தியில் 40% தயாரிக்கிறது மற்றும் இயந்திரம்-II உற்பத்தியில் 60% தயாரிக்கிறது. மேலும் இயந்திரம்-I -ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 4% குறைபாடுள்ளதாகவும் இயந்திரம்-II-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களில் 5% குறைபாடுள்ளதாகவும் இருக்கின்றன. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக இருப்பின், அப்பொருள் இயந்திரம் II-ல் உற்பத்தி செய்ததற்கான நிகழ்தகவு யாது? (முந்தைய எடுத்துக்காட்டு வினாவுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கவும்.) 

தீர்வு

A1 மற்றும் A2 முறையே இயந்திரங்கள்-I மற்றும் II மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. B என்பது குறைபாடுள்ள ஒரு பொருளை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. P(A2/B) எனும் நிகழ்தகவைக் காணவேண்டும். A1, A2 என்பவை ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.27

கட்டிடம் கட்டும் நிறுவனத்தில் 2 செயற்பொறியாளர்கள் பணியில் அமர்த்தப்பட்டுள்ளனர். நிறுவனத்தின் 60% மற்றும் 40% வேலைகளை முறையே செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர்-2 செய்கிறார்கள். முன் அனுபவத்தைப் பொறுத்து செயற்பொறியாளர்-1 மற்றும் செயற்பொறியாளர்-2 வேலை செய்வதில் தவறிழைக்க நிகழ்தகவு முறையே 0.03 மற்றும் 0.04 ஆகும். தற்போது நடைபெறும் கட்டுமானப் பணியில் ஒரு மோசமான (விளைவு) தவறு நிகழ்வதாக கொண்டால் எந்த செயற்பொறியாளர் தவறு இழைத்திருக்கக்கூடும் என்பதை யூகிக்கவும்.

தீர்வு

A1 என்பது செயற்பொறியாளர்-1-ன் வேலையை குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

A2 என்பது செயற்பொறியாளர்-2-ன் வேலையை குறிக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

B என்பது வேலையில் தவறு ஏற்படும் நிகழ்ச்சி என்க.

சார்பு நிலை நிகழ் தகவு P(A1 / B) மற்றும் P(A2 / B) கண்டறிவதன் மூலம் தவறிழைப்பவர்களை ஒப்பிட இயலும்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களின்படி P(A1) = 0.60, P(B/ A1) = 0.03

P(A2) = 0.40, P(B/ A2) = 0.04

A1, A2 ஆகிய இரு நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால், பேயீஸ்-ன் தேற்றப்படி,

P(A1 / B) > P(A2 / B), என்பதால் செயற்பொறியாளர்-1 தவறிழைத்ததற்கான நிகழ்தகவு செயற்பொறியாளர்-2 தவறிழைத்ததற்கான நிகழ்தகைவ விட அதிகமாக இருப்பதால் வேலையில் ஏற்பட்ட தவறை செயற்பொறியாளர்-1 இழைத்திருக்கக் கூடும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.28

ஓர் அலுவலகத்தில் X, Y மற்றும் Z ஆகியோர் அலுவலகத்தின் தலைமையதிகாரியாக பொறுப்பேற்பதற்கான வாய்ப்புகள் முறையே 4 : 2 : 3 என்றவிகிதத்தில்அமைந்துள்ளன. X, Y மற்றும் Z தலைமையதிகாரிகளாக பொறுப்பேற்பின் போனஸ் திட்டத்தை அமல்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.3, 0.5 மற்றும் 0.4 ஆகும். அலுவலகத்தில் போனஸ் திட்டம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டிருப்பின் Z தலைமையதிகாரியாக நியமனம் செய்யப்படுவதற்கான நிகழ்தகவினைக் காண்க.

தீர்வு

A1, A2 மற்றும் A3 என்பவை முறையே X, Y மற்றும் Z ஆகியோர் தலைமையதிகாரியாக நியமனம் பெறுவதற்கான நிகழ்ச்சிகள் என்க. Bஎன்பது போனஸ் திட்டத்தை அமல்படுத்துவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.

இங்கு நாம் சார்புநிலை நிகழ்தகவு P(A3 / B) -யினைக் காணவேண்டும்.

A1, A2 மற்றும் A3 நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால் பேயீஸ்-ன் தேற்றப்படி

எடுத்துக்காட்டு 12.29 

மூன்று வாடகை மகிழுந்து நிறுவனங்களிடமிருந்து, ஆலோசனை தரும் ஒரு நிறுவனம் மகிழுந்துகளை வாடகைக்கு வாங்குகிறது. 50% மகிழுந்துகளை L நிறுவனத்திடமிருந்தும், 30%-ஐ M-யிடமும் மற்றும் 20%-ஐ N நிறுவனங்களிடமிருந்தும் வாங்குகிறது. L நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 90% -ம், M நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 70% -ம் N நிறுவனத்திடமிருந்து வாங்கிய மகிழுந்துகளில் 60% -ம் நல்ல நிலைமையில் உள்ளன எனில்  

(i) ஆலோசனை நிறுவனம் வாங்கிய வாடகை மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளதற்கான நிகழ்தகவு யாது? (ii) வாடகைக்கு வாங்கிய மகிழுந்து நல்ல நிலைமையில் உள்ளது எனில் N நிறுவனத்திடமிடமிருந்து பெறப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

L, M மற்றும் N நிறுவனங்களிடமிருந்து மகிழுந்துகளை வாங்கும் நிகழ்ச்சிகள் முறையே A1, A2 மற்றும் A3 என்க.

G என்பது நல்ல நிலைமையில் வாங்கும் வாடகைக் மகிழுந்துக்கான நிகழ்ச்சி என்க.

G –ன் மொத்த நிகழ்தகவு, P(G) மற்றும்

A3-ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டால் P(A3/ G) ஆகியவற்றைக் காண வேண்டும்.

P(A1) = 0.50, P(G/ A1) = 0.90

P(A2) = 0.30, P(G/A2) = 0.70

P(A3) = 0.20, P(G/A3) = 0.60.

(i) A1, A2, A3 ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாதலால் G-ன் மொத்த நிகழ்தகவு

P(G) = P(A1) P(G/ A1) + P(Ą2) P(G/ A2) + P(A3) P(G / A3)

P(G) = (0.50) (0.90) + (0.30) (0.70) + (0.20) (0.60)

P(G) = 0.78.

(ii) A3 -ன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு G தரப்பட்டால் P(A3 / G) காணவேண்டும். பேயீஸ்-ன் விதிப்படி

பாடத் தொகுப்பு

இப்பாடப்பகுதியில் நாம் கற்றுத் தெளிந்தவை

ஒரு சம வாய்ப்புச் சோதனையின் கூறுவெளி S எனவும் அதன் ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி A எனவும் கொள்க.

நிகழ்தகவின் கோட்பாடுகள்

S என்பது ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையின் முடிவுற்ற கூறுவெளி. A என்பது S-ன் யாதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி.P(A) என்பது A-ன் நிகழ்தகவு எனில் P(A) கீழ்க்காணும் அடிப்படைக்கொள்கைகளை நிறைவு செய்யும்.

(1) P(A) ≥ 0

(2) A மற்றும் Bஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனில்,

P(A∪B) = P(A) + P(B) 

(3) P(S) = 1

இயலா நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியம் ஆகும். P(ϕ) = 0

A மற்றும் B என்பன இரு நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் B -ன் நிரப்பி எனில்

A மற்றும் B என்பன இரு நிகழ்ச்சிகள் எனில்

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

நிகழ்ச்சி A ஏற்கனவே நிகழ்ந்துள்ள நிலையில் Aயின் நிபந்தனையில் B -ன் சார்புநிலை நிகழ்தகவு P(B/A) எனக் குறிக்கப்படின்

P(B/ A) = P(A∩B) / P(A), P(A) ≠ 0

P(A/ B) = P(A∩B) / P(B), P(B) ≠ 0

உடனிகழ்வுகளாக ஏற்படும் A மற்றும் B எனும் இரு நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவு

P(A∩B) = P(A/B)P(B) or P(A∩B) = P(B / A)P(A)

P(A∩B) = P(A) . P(B) எனில் A மற்றும் B எனும் இரு நிகழ்ச்சிகளும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

கூட்டு நிகழ்தகவு

A1, A2, A3,..., An என்பன ஒன்றை ஒன்று விலக்கிய யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகள் மற்றும் B என்பது S எனும் கூறுவெளியில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி எனில்

P(B) என்பது நிகழ்ச்சிB -யின் கூட்டு நிகழ் தகவு ஆகும்.

பேயீஸ்-ன் தேற்றம்

A1, A2, A3,...... An என்ற ஒன்றை ஒன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகவும் மேலும் P(Ai) > 0, i = 1,2,3,....n எனில் P(B) > 0,இருக்கும்படி B என்ற எந்த ஒரு நிகழ்ச்சிக்கும்

இணையச் செயல்பாடு 12 (a)

நிகழ்தகவு கோட்பாடு-ஓர் அறிமுகம்

செயல்பாட்டின் இறுதியில் கிடைக்கப் பெறுவது

படி -1

கீழ்க்காணும் உரலி / விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி GeoGebra-வின் "XI standard Probability" பக்கத்திற்குச் செல்க. உங்கள் பாடம் சார்ந்த பல பணித்தாள்கள் இப்பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்.

படி - 2

"Sets and Probability" என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். அதில் "New Problem" என்பதைத் தேர்வு செய்து, வினாக்களை மாற்ற முடியும். நிகழ்தகவு கணக்குகளைச் செய்து, அதற்கென கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் கட்டங்களைச் சொடுக்குக.

உரலி :

https://ggbm.at/zbpcj934

*படங்கள் அடையாளத்திற்கு மட்டும்.

இணையச் செயல்பாடு 12 (b)

நிகழ்தகவு கோட்பாடு-ஓர் அறிமுகம்

படி − 1

கீழ்க்காணும் உரலி / விரைவுக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி GeoGebra--வின் "XI standard Probability" பக்கத்திற்குச் செல்க. உங்கள் பாடம் சார்ந்த பல பணித்தாள்கள் இப்பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும்.

படி - 2

"Bayes Theorem" என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். அதில் ஒரு எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும். கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் படிகளின் படி நிகழ்தகவுகளைச் செய்க. உங்கள் விடைகளைச் சரி பார்க்க, அதற்கென கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் கட்டங்களைச் சொடுக்குக.

உரலி :

https://ggbm.at/zbpcj934