கார்டீசியன் பெருக்கல்

கார்டீசியன் பெருக்கல் (Cartesian product)

கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட உறுப்புகளின் கணமே ஆகும். குறிப்பாக இரு கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணமாகவும், மூன்று கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்றன் தொகுதி கணமாகவும் அமைகின்றது.

துல்லியமாகக் கூற வேண்டுமாயின், A, B மற்றும் C ஆகிய மூன்று கணங்களை எடுத்துக் கொள்வோம். A மற்றும் B ஆகிய கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் (cartesian product), A × B எனக் குறிக்கப்பட்டு, A × B = {(a, b):a ∈ A, b ∈ B} என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதே போன்று, A, B மற்றும் C ஆகிய மூன்று கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல்,

A × B × C = {(a, b, c):a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} என வரையறுக்கப்படுகிறது.

எளிதாக, A × A = {(a,b): a, b ∈ A} எனலாம்.

A × A = {(a, a): a ∈ A} என எழுதுவது சரியாக அமையுமா?

கார்டீசியன் பெருக்கலில் உள்ள உறுப்புகள் வரிசைப்படுத்தப்பட்டது என்பதால், வெற்றற்ற கணங்கள் A = B என இருந்தாலன்றி, A × B ≠ B × A ஆகும். அதாவது தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை A = B எனில் A × B = B × A.

ℝ என்பது மெய்யெண்களின் கணத்தைக் குறிப்பதால், 

ℝ × ℝ = {(x,y):x, y ∈ ℝ} , ℝ × ℝ × ℝ = {(x,y,z):x,y,z ∈ ℝ}.

குறிப்பாக, ℝ × ℝ என்பதனை ℝ2 எனவும் ℝ × ℝ × ℝ என்பதனை ℝ3 எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. ℝ × ℝ என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் கணமாகவும், ℝ × ℝ × ℝ என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்றன் தொகுதி கணமாகவும் உள்ளது.

இப்போது, A = {1,2,3} மற்றும் B = {2,4,6} என எடுத்துக் கொண்டால்

A × B = {(1,2), (1,4), (1,6), (2, 2), (2,4), (2,6), (3, 2), (3,4), (3,6)}. இங்கு A × B என்பது ℝ × ℝ -ன் உட்கணமாக அமைவதைக் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

A × B-ல் உள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை A மற்றும் B கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின் பெருக்கல் தொகையாகும். அதாவது, n (A × B) = n(A) n(B) ஆகும். மேலும், n(A × B × C) = n(A) n(B) n(C). இங்கு A, B மற்றும் C ஆகியவை முடிவுறு கணங்கள் ஆகும்.

கீழ்க்காணும் கணங்கள் ℝ × ℝ -ன் உட்கணங்கள் என்பது தெளிவாக தெரிகிறது. 

(i) {(x, 2 x): x ∈ ℝ}

(ii) {( x, x2): x ∈ ℝ} 

(iii) {( x, √ x): x ஒரு குறையற்ற மெய்யெண்} 

(iv) {( x2, x): x ∈ ℝ}. 

(v) {( x, - √ x): x ஒரு குறையற்ற மெய்யெண்}

எடுத்துக்காட்டு 1.1 கணம் A ஆனது A = { x : x = 4n + 1, 2  ≤ n ≤ 5, n ∈ ℕ} எனில், A-ன் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. 

தீர்வு :

A = { x : x = 4n + 1, n = 2,3,4,5} = {9,13,17,21} 

எனவே n(A) = 4. n(P(A)) = 24 = 16

எடுத்துக்காட்டு 1.2 மக்கள்தொகை 5000 உள்ள ஒரு நகரத்தில் நடத்தப்பட்ட ஒரு கணக்கெடுப்பில், மொழி A தெரிந்தவர்கள் 45%, மொழி B தெரிந்தவர்கள் 25%, மொழி C தெரிந்தவர்கள் 10% , A மற்றும் B மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 5%, B மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4%, A மற்றும் C மொழிகள் தெரிந்தவர்கள் 4% ஆகும். இதில் மூன்று மொழிகளையும் தெரிந்தவர்கள் 3% எனில், மொழி A மட்டும் தெரிந்தவர்கள் எத்தனை பேர்?

தீர்வு:

செவ்வெண்மை மற்றும் வென்படம் என இரு வழிகளில் தீர்வு காணலாம்.

(i) செவ்வெண்மை மூலம் தீர்வு காணல்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரங்களிலிருந்து n(A) = 5000 -ல் 45% = 2250 . 

இதே போன்று,

n(B) = 1250, n(C) = 500, n(A ∩ B) = 250, n(B ∩ C) = 200, n(C ∩ A) = 200

மற்றும் n(A ∩ B ∩ C) = 150.

மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 

n(A ∩ B' ∩ C') = n {A ∩ (B ∪ C)'} = n(A) - n{A ∩ (B ∪ C)}

= n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). 

= 2250 - 250 - 200 + 150 = 1950.

A மொழி மட்டும் தெரிந்தவர்களின் எண்ணிக்கை 1950.

(ii) வென்படம் மூலம் தீர்வு காணல்:

படம் 1.1 –லிருந்து, மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 39 சதவீதம் ஆகும்.

எனவே மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 5000 × 39 / 100 = 1950.

எடுத்துக்காட்டு 1.3 ((A ∪ B' ∪ C) ∩ (A ∩ B' ∩ C')) ∪ ((A ∪ B ∪ C') ∩ (B' ∩ C')) = B' ∩ C'' என நிரூபிக்க.

தீர்வு :

A ∩ B' ∩ C' ⊆ A ⊆ A ∪ B' ∪ C என்பது தெளிவு. 

எனவே (A ∪ B' ∪ C) ∩ (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ B' ∩ C'. 

மேலும் B’ ∩ C' ⊆ C' ⊆ A ∪ B ∪ C'. 

எனவே (A ∪ B ∪ C') ∩ (B' ∩ C') = B' ∩ C' மேலும், A ∩ B' ∩ C' ⊆ B' ∩ C'.

எனவே ((A ∪ B' ∪ C) ∩ (A ∩ B' ∩ C')) ∪ ((A ∪ B ∪ C') ∩ (B' ∩ C')) = B' ∩ C' 

குறிப்பு: வென்படங்கள் மூலம் நிரூபிக்க முயற்சி செய்யவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.4 X = {1,2,3, ..., 10} மற்றும் A = {1,2,3,4,5} எனில், A - B = {4} என்று உள்ளவாறு அமையக்கூடிய X -ல் உள்ள B உட்கணங்கள், அதாவது B ⊆ X எத்தனை உள்ளது? 

தீர்வு: 

{6,7,8,9,10} எனும் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமாகிய C கணத்திற்கு, B = C U {1,2,3,5} என எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கு A - B = {4} என்கிற நிபந்தனை பொருந்தும். இதனால் X ல் உள்ள B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும், {6,7,8,9,10} என்கிற கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையும் சமம். எனவே, B உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 25 = 32.

எடுத்துக்காட்டு 1.5 A மற்றும் B எனும் இரு கணங்கள், n (B- A) = 2 n (A – B) = 4 n(A ∩ B) மற்றும் n(A U B) = 14 என அமைந்தால், n(P(A)) காண்க. 

தீர்வு:

n(P(A)) -ஐக் காண n(A) தேவைப்படும்.

n(A ∩ B) = k என்க. 

எனவே, n(A – B) = 2k மற்றும் n (B – A) = 4k ஆகும் . 

இந்நிலையில், n (A ∪ B) = n (A - B) + n (B - A) + n (A ∩ B) = 7k 

மேலும், n (A ∪ B) = 14 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

இதனால் 7k = 14, k = 2 ஆகும். 

ஆகையால், n (A – B) = 4 மற்றும் n (B - A) = 8

n (A) = n (A - B) + n (A ∩ B) என்பதால் n(A) = 6.

எனவே, n(P(A)) = 26 = 64 .

எடுத்துக்காட்டு 1.6 இரு கணங்களின் உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை m மற்றும் k ஆகும். முதல் கணத்திலுள்ள உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது கணத்தின் உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையை விட 112 அதிகமெனில், m மற்றும் k மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

n (A) = m மற்றும் n (B) = k என்று அமையுமாறு இரு கணங்கள் A மற்றும் B என்க. B கணத்தை விட A கணத்தின் எண்ணிக்கை அதிகமெனில், m > k. கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின்படி   2m – 2k = 112.

ஆகையால், 2k( ) 2m-k – 1) = 24 × 7

இந்நிலையில் ஒரே சாத்தியக்கூறு k = 4 மற்றும் 2m-k - 1 = 7 ஆகும் . இதனால் m - k = 3 . எனவே m = 7.

எடுத்துக்காட்டு 1.7 n (A) = 10 மற்றும் n (A ∩ B) = 3 எனில், n (( A ∩ B)′ ∩ A ) -ஐ காண்க. 

தீர்வு: 

எடுத்துக்காட்டு 1.8

A = { 1,2,3,4} மற்றும் B = { 3,4,5,6} எனில், n (A U B) × (A ∩ B)  × (A Δ B)  -ஐ காண்க. 

தீர்வு: 

எடுத்துக்காட்டு 1.9

P(A) என்பது A என்ற கணத்தின் அடுக்குக் கணத்தினைக் குறித்தால், n(P(P(P φ)))) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு: 

P(φ) கணத்தில் ஒரு உறுப்பு உள்ளதால் P(P(φ) கணத்தில் 21 உறுப்புகளும், P(P(P(φ))) கணத்தில் 22 உறுப்புகளும் இருக்கும். அதாவது 4 உறுப்புகள் இருக்கும்.

பயிற்சி 1.1 

1. கீழ்க்காண்பவைகளை பட்டியல் முறையில் எழுதுக. 

(i) { x ∈ ℕ : x2  < 121 மற்றும் x ஒரு பகா எண்ணாகும்}. 

(ii) (x-1) (x+1) (x2-1) = 0 எனும் சமன்பாட்டின் மிகை மூலங்களின் கணம். 

(iii) {x ∈ ℕ: 4x + 9 <  52}. 

(iv) { x: x-4/x+2 = 3, x ∈ ℝ  - {-2}}. 

2. {-1. 1} எனும் கணத்தைக் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் எழுதுக

3. கீழ்க்காண்பவனற்றுள் எவை முடிவுள்ள கணம், முடிவில்லாத கணம் என்பதனைக் குறிப்பிடுக. 

(i) {x ∈ ℕ: x என்பது ஒரு இரட்டைப்படை பகா எண்}. 

(ii) {x ∈ ℕ: x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}.

(iii) {x ∈ ℤ: x என்பது பத்தை விடக் குறைந்த இரட்டைப்படை எண்).

(iv) {x ∈ ℝ: x என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}.

(v) {x ∈ ℕ: x என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்}. 

4. பின்வருவனவற்றை, தகுந்த A, B, C கணங்களைக் கொண்டு சரிபார்க்கவும்.

(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). 

(ii) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). 

(iii) (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A). 

(iv) C - (B - A) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B').

(v) (B - A) ∩ C = (B ∩ C) – A = B ∩ (C - A). 

(vi) (B - A) ∪ C = (B ∪ C) – (A - C).

5.  "ஒரு கணத்திலுள்ள ஓர் உறுப்பு எப்பொழுதும் தன் கணத்திற்கே உட்கணமாக அமையாது" என்ற கூற்றின் உண்மைத் தன்மையை ஆராய்க.

6.  n(P(A)) = 1024, n (A ∪ B) = 15 மற்றும் m (P(B)) = 32 எனில், n (A ∩ B) காண்க

7. n (A ∩ B) = 3 மற்றும் n (A ∪ B) = 10 எனில், n(P(A∆B)) காண்க.

8. A × A என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. மேலும் அதிலுள்ள இரு உறுப்புகள் (1, 3) மற்றும் (0, 2) எனில், A -ன் உறுப்புகளைக் காண்க. 

9. n(A) = 3 மற்றும் n (B) = 2 எனும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு அமைந்துள்ள இரு கணங்கள் A, B ஆகும். (x, 1), (y, 2), (z, 1) என்பவை A × B எனும் கணத்திலுள்ள சில உறுப்புகள் எனில், A, B கணங்களைக் காண்க. (இங்கு x, y, z முற்றிலும் வேறுபட்ட உறுப்புகள்) 

10. A × A கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன. S = {(a,b) ∈ A×A:a < b} என்ற கணத்தில் உள்ள இரு உறுப்புகள் (-1, 2) மற்றும் (0, 1) எனில் S இல் உள்ள மீதமுள்ள உறுப்புகளைக் காண்க.