சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் : அறிமுகம்

சேர்ப்பியல் மற்றும் கணிதத் தொகுத்தறிதல்

"துணிச்சலான ஊகமின்றி எந்த ஒரு பெரிய கண்டுபிடிப்பும் நிகழ்ந்ததில்லை." - சர் ஐசக் நீயூட்டன்.

அறிமுகம் (Introduction)

சேர்ப்பியல் என்பது எவ்வாறு எண்ணுவது என்பதை எடுத்துரைக்கும் கணிதப் பிரிவு ஆகும். இதில் பொருட்களை எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம் எனவும் சில குறிப்பிட்ட பண்புடைய பொருட்களை எவ்வாறு எண்ணுவது என்பது பற்றியும் இங்கு விரிவாக காணலாம். இப்பாடத்தின் அடிப்படையானது, கி.மு (பொ.ஆ.மு) 2800 இல் மாய சதுரங்கள் மற்றும் அதனுடைய வடிவங்களைப் பற்றி படிப்பதற்கு பயன்படுத்தியுள்ளதாக அறிகிறோம்.

இங்கிலாந்தை சேர்ந்த இயற்பியல் மற்றும் கணிதவியல் வல்லுநரான சர் ஐசக் நியூட்டன் (Sir Isaac Neuton) அவரது ஈர்ப்பு விசையை பற்றிய விதிகளுக்கு மிகவும் பிரபலமானவர், 17 ஆம் நூற்றாண்டின் அறிவியல் புரட்சியின் வித்தாக இருந்தார். நியூட்டனின் "வடிவங்களின் நிலைத்தன்மை" பற்றிய நம்பிக்கை அவரது குறிப்பிடத்தக்க முதல் கண்டுபிடிப்பான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவினை பொதுமைப்படுத்துவதற்கு பயன்பட்டது.

நியூட்டனின் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் கண்டுபிடிப்பானது வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பைக் காண எளிமையான வழியாக அமைந்தது. அவரது இந்த கண்டுபிடிப்பு நிகழ்தகவைப் புரிந்துகொள்வதற்கு மிகவும் அவசியம். பல்வேறு மாறிகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Multinomial Theorem) சேர்ப்பியல் மற்றும் நிகழ்தகவில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

பின்ன குறியீடுகளை அவர்தான் முதன் முதலில் பயன்படுத்தினார் மற்றும் இருபரிமாண வடிவியலை பயன்படுத்தி திவோபேன்டைனின் சமன்பாடுகளுக்கு (Diophantine Equations) தீர்வு கண்டார். அவர் இசைத் தொடர்முறைகளுக்கு பகுதி கூட்டுத் தொகையின் தோராயத்தை மடக்கையைக் கொண்டு கண்டறிந்தார். (இது யூலரின் கூட்டுத் தொகை சூத்திரத்திற்கு ஓர் முன்னோடி), அடுக்குத்தொடர்முறையை முதன் முதலில் உறுதியாக பயன்படுத்தியது மட்டுமல்லாமல் அடுக்குத் தொடரை மாற்றியும் அமைத்தார். நியூட்டனின் முடிவில்லா தொடர்முறையின் கண்டுபிடிப்புகள் சைமன் ஸ்டீவின்ஸ் தசமங்களால் (Simon Stevin's decimals) உந்தப்பட்டு உருவானவை.  

1705 இல் இங்கிலாந்து ராஜ்ஜியத்தின் அரசி அன்னே (Queen Anne) சர் ஐசக் நியூட்டன் என பட்டம் கொடுத்து பாராட்டினார். லெபினிட்ஸ் (Libnitz) உடன், நுண்கணிதத்தின் இன்றியமையாத கோட்பாடுகளை வளர்த்த பெருமை நியூட்டனுக்கு உண்டு.

நடைமுறை வாழ்வில் எங்கெல்லாம் எண்ணுதல் அவசியப்படுகின்றதோ அங்கெல்லாம் சேர்ப்பியல் பயன்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக, தேவைக்கு ஏற்றாற்போல் போதுமான அளவு அலைபேசி எண்களை உருவாக்க முடியுமா அல்லது கணிப்பொறியில் எத்தனை வித்தியாசமான கடவுச் சொற்களை அமைக்கலாம் என்பனவற்றை சேர்ப்பியலைக் கொண்டு தீர்மானிக்கலாம். மேலும், இது எத்தனை சிறந்த வழிகள் உள்ளன எனக் காண்பதற்கு அதாவது நடைமுறையில் உள்ள பல வாய்ப்புகளில் எத்தனை வாய்ப்புகள் உண்மையில் நமக்குச் சிறந்ததாக அமையும் எனக் காணப் பயன்படுகின்றது. இப் பகுதியில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் வரிசைப்படுத்தப்படாத அடுக்குதல்களை பற்றி நாம் படிக்கவுள்ளோம். இவ்வாறான அடுக்குதல்களை வரிசை மாற்றங்கள் மற்றும் சேர்வுகள் என்று அழைக்கிறோம். சேர்ப்பியலானது பெருமளவில் தகவல் தொடர்பு வலைப்பின்னல், குறியாக்கம், பாதுகாப்பு வலைப்பின்னல் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு போன்றவற்றில் எண்ணுதலுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நாம் இவற்றின் பண்புகளை ஆராய்ந்து அவற்றை எண்ணுதல் கணக்குகளில் பயன்படுத்துவோம்.

நாம் இப்பொழுது மற்றொரு சூழலை கருதுவோம். நாம் பயன்படுத்தும் நுகர்வோர் மின் அட்டையில் நுகர்வோர் எண் A:B:C என்ற வடிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதைப் பார்த்திருப்போம். இதில் A ஆனது துணை மின் நிலைய (Sub-station) அல்லது அதிக மின் திறன் கொண்ட மின்மாற்றி எண்ணையும், B ஆனது குறைந்த மின்திறன் கொண்ட மின்மாற்றி (Transformer) எண்ணையும் மேலும் C ஆனது நுகர்வோர் எண்ணையும் (Consumer Number) குறிக்கும். ஒவ்வொரு துணை மின் நிலையத்திற்கும் அதிகபட்சமாக ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான மின் மாற்றிகளைத்தான் இணைக்க இயலும், எனவும் மேலும் ஒவ்வொரு மின்மாற்றியிலும் அதிகபட்சமாக ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நுகர்வோர்களைத்தான் இணைக்க இயலும் என்கின்ற கட்டுப்பாடுகள் இருக்கலாம். ஒரு புதிய மின் நிலையமோ அல்லது மின்மாற்றியோ எப்பொழுது தேவைப்படும் என்பதை அறிய எத்தனை நுகர்வோர்கள் அந்த மின்மாற்றியில் அல்லது மின் நிலையத்தில் இணைக்கப்பட்டுள்ளனர் என்பதை அறிய எண்ணுவது அவசியமாகிறது. இந்த எண்ணிக்கையை எவ்வாறு நாம் பெறுவது? இத்தகைய எண்ணிக்கையை எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எளிதாக காணலாம்.

இப்பாடப்பகுதியில் எண்ணுதல் எனும் செயல் எவ்வாறு மேற்கொள்ள பட உள்ளது என்பதை எண்ணுதலின் அடிப்படைக் கொள்கைகளில் தொடங்கி வரிசை மாற்றங்கள் மற்றும் சேர்வுகள் வாயிலாக விரிவாகக் காணலாம்.

கற்றல் நோக்கங்கள்

இப்பாடப்பகுதியை கற்ற பின் மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டிய பாடக் கருத்துகள்.

• எண்ணுதலின் அடிப்படை கொள்கைகளை பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல். 

• எத்தனை வழிகளில் வெவ்வேறான பொருட்களை வரிசைப்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல். 

• ஒரு கணமானது ஒரே மாதிரியான பொருட்களை உள்ளடக்கியிருந்தால் அவற்றை எத்தனை வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம் என்பதை அறிதல். 

• ஒரு கணத்திலுள்ள வெவ்வேறான பொருட்களின், சேர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண உத்திகளைப் பயன்படுத்துதல். 

• கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் பயன்பாடுகளை அறிதல்.

நாம் கீழ்க்காணும் பாடப்பகுதியில் இருந்து தொடங்குவோம்.