சார்புநிலை நிகழ்தகவு (நிபந்தனை நிகழ்தகவு) (Conditional Probability)

சார்புநிலை நிகழ்தகவு (நிபந்தனை நிகழ்தகவு) (Conditional Probability) 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 12.8

சார்புநிலை நிகழ்தகவின் கருத்தாக்கத்தினை அறிந்து கொள்ள முதலில் ஒரு எடுத்துக்காட்டினைக் காண்போம்.

ஒரு சீரான பகடை உருட்டப்படுவதாகக் கொள்வோம். அதன் கூறுவெளி S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. இப்போது நாம் இரு வினாக்களை எழுப்புவோம்.

Q1 : பகடையில் 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படைஎண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

Q2 : பகடையில் ஒற்றைப்படை எண் விழுந்திருப்பின், அது 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

நிலை 1

2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சிகள் {3, 5}.

P1 என்பது 2-க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்க

P1 = n({3,5}) / n({1,2,3,4,5,6}) = 2/6 = 1/3

நிலை 2

இங்கு முதலில் கூறுவெளி S-ஐ ஒற்றைப்படை எண்கள் மட்டுமே கொண்ட ஒரு உட்கணத்திற்குக் கட்டுப்படுத்துகிறோம்.

அதாவது S1 = {1,3,5} என்ற உட்கணத்திற்குக் கட்டுப்படுத்துகிறோம். பிறகு 2 -க்கு மேற்பட்ட ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு P2

P2 = n({3,5}) / n({1,3,5}) = 2/3 

மேற்கண்ட இரண்டு நிலைகளிலும் நிகழக்கூடிய நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றாக இருந்தாலும், அவற்றின் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சியின் முடிவுகள் வெவ்வேறாக இருக்கின்றன. நிலை இரண்டில் கூறுவெளி ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தப்பட்ட பிறகு நிகழ்தகவினைக் கண்டறிகிறோம் . இத்தகைய நிகழ்தகவானது சார்பு நிலை நிகழ்தகவு எனப்படும்.

இச் சார்பு நிலை நிகழ்தகவானது கூறுவெளிளைப் பயன்படுத்தி

முக்கிய குறிப்பு: நிகழ்தகவிற்கும் சார்புநிலை நிகழ்தகவிற்கும் கூறுவெளி ஒன்றேயாகும்.

வரையறை 12.14

நிகழ்ச்சி A ஏற்கனவே நிகழ்ந்துள்ள நிலையில் A-ன் நிபந்தனையில் B-ன் சார்புநிலை P(B/A)எனக் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும்

P(B/ A) = P(A∩B) / P(A), P(A) ≠ 0  என வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதேபோல் P(A/ B) = P(A∩B) / P(B), P(B) ≠ 0  என வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 12.16

P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 மற்றும் P(A∩B) = 0.2 எனில்

(i) P(A/ B)

(ii) P(Ā/ B)

(iii) P(A / ) காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டுள்ளது P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, மற்றும் P(A∩B) = 0.2

குறிப்பு 12.5

P(A/ B) + P(Ā/ B) = 1

எடுத்துக்காட்டு 12.17

ஒரு பகடையை ஒரு முறை உருட்டும்போது ஒரு ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்கும் எனில் 5 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு

கூறுவெளி S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A என்பது ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

B என்பது 5 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.

A = {1, 3, 5}, B = {5}, மற்றும் A∩B = {5}.

எனவே P(A) = 3/6 மற்றும் P(A∩B) = 1/6

P (5 கிடைக்க / ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்க) = P(B/ A)

P(B/ A) = 1/ 3

சார்புநிலை நிகழ்தகவினை மாற்றி எழுத நிகழ்தகவின் பெருக்கல் தேற்றம் கிடைக்கிறது. 

தேற்றம் 12.7

(நிகழ்தகவின் பெருக்கல் தேற்றம் )

உடனிகழ்வுகளாக ஏற்படும் A, B என்னும் இரு நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவு

P(A∩B) = P(A/B)P(B)

அல்லது

P(A ∩ B) = P(B/ A)P(A)

1. சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் (Independent events)

நடைபெறுவதும் அல்லது நடைபெறாததுமான ஒரு நிகழ்ச்சியானது, நடைபெறும் அல்லது நடைபெறாததுமான மற்ற நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது எனில் இந்நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

வரையறை 12.15

P(A∩B) = P(A).P(B) எனில் A, B என்ற இரு நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும். இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

குறிப்பு 12.6

(i) இந்த வரையறைக்குச் சமானமாகக் கீழ்க்காண்பனவற்றை கூறலாம்

P(A/B) = P(A), P(B) > 0

P(B/ A) = P(B), P(A) > 0

(1) A1, A2, A3,…,An என்பவை ஒன்றுக்கொன்று சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில்

P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ An) = P(A1) . (A2). … , . P(An).

தேற்றம் 12.8

A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில்

(i) Ā மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும்.

(ii) A மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும் .

(iii) Ā மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும் .

நிரூபணம்

(i) Ā மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் ஆகும் என நிறுவுதல்.

A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் என்பதால்

P(A∩B) = P(A) • P(B)

Ā மற்றும் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் என நிரூபிக்க, கீழ்க்காணும் கூற்றை நிரூபிக்க வேண்டும். 

இதேபோல் (ii) மற்றும் (iii) ஆகியவற்றையும் நிரூபிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 12.18

40 அட்டைகளைக் கொண்ட ஒரு கட்டில் இருந்து (கீழே காட்டியவாறு) இரண்டு அட்டைகள் அடுத்தடுத்து எடுக்கப்படுகிறது.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19   சிவப்பு வண்ணங்களில்

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29   சிவப்பு வண்ணங்களில்

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19   கருப்புவண்ணங்களில்

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29   கருப்புவண்ணங்களில் 

18 மற்றும் 24 ஆகியவை கிடைப்பதற்கான நிகழ்த்தகவை காண்க.

(i) முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் கட்டில் வைக்கப்படுகிறது.

(ii) முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் கட்டில் வைக்கப்படவில்லை.

தீர்வு

முதலில் எடுக்கப்பட்ட அட்டை 18 ஆக இருக்கும் நிகழ்வின் நிகழ்வினை A என்க. 

இரண்டாவதாக எடுக்கப்பட்ட அட்டை 24 ஆக இருக்கும் நிகழ்வினை B என்க.

நிலை (i)

எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் வைக்கப்படுகிறது.

n(A) = 2, n(B) = 2

மற்றும் n(S) = 40

நிகழ்ச்சி A ஆனது B-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது. ஆதலால் A-ம் B-ம் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

P(A∩B) = P(A). P(B)

P(A) = 2/40, P(B) = 2/40

P(A∩B) = P(A) P(B)

= (2/40) (2/40)

= 1/ 400

நிலை (ii)

எடுக்கப்பட்ட அட்டை மீண்டும் வைக்கப்படவில்லை.

முதல் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 40 அட்டைகளில் இரண்டு 18 அட்டைகள் இருக்கும். முதல் அட்டை மீண்டும் வைக்காமல் இரண்டாம் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 39 அட்டைகள் இருக்கும். எனவே முதலில் நடந்த நிகழ்ச்சி A ஆனது, பின் நடக்கும் நிகழ்ச்சி B-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்கின்றது. ஆதலால் A, B நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த நிகழ்ச்சிகளாகும்.

எனவே, P(A∩B) = P(A)P(B / A)

எடுத்துக்காட்டு 12.19

ஒரு நாணயம் இருமுறை சுண்டிவிடப்படுகிறது. E என்பது முதல் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல், F என்பது இரண்டாம் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால் பின்வரும் நிகழ்தகவினைக் காண்க.

(i) P(E∪F)

(ii) P(E/ F)

(iii) P(Ē / F)

(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளா?

தீர்வு

கூறுவெளி

S = {H,T}×{H,T}

S = {(H,H),(H, T), (T, H), (T, T)}

மற்றும் E = {(H, H), (H,T)}

F = {(H,H), (T, H)}

E∪F = {(H, H),(H, T), (T, H)}

E∩F = {(H, H)}

(i) P(E∪F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) அல்லது ( = n (E∪F) / n(S))

= 2/4 + 2/4 – 1/4 = 3/4

(ii) P(E / F) = P(E∩F) / P(F) = (1/4)/(2/4) = 1/2

(iii) P(Ē/F) = P(Ē∩F) / P(F)

= P(F) – P(E∩F) / P(F)

= (2/4) – (1/4) / (2/4)

= 1/2

(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகுமா?

P(E ∩F) = 1/4

P(E) = 2/4, P(F) = 2/4

P(E) P(F) = 2/2 . 2/4 = 1/4

⇒ P(E∩F) = P(E) . P(F)

எனவே E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

குறிப்பு 12.7

நிகழ்ச்சிகளின் சார்பிலாத் தன்மை நிகழ்தகவின் பண்புகளைக் கொண்டது. ஆனால் ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் கணங்களின் பண்புகளைக் கொண்டது. ஆகையால் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளை அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் மூலமும், ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளை அவற்றின் கணங்களாகக் கொண்டும் கண்டறியலாம்.

தேற்றம் 12.9

A மற்றும் B என்ற இரு நிகழ்ச்சிகளானவை P(A) ≠ 0,P(B) ≠ 0 என இருப்பின்

(1) A மற்றும் B ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகள் எனில் அவை சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலாது.

(2) A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கிய நிகழ்ச்சிகளாக இருக்க இயலாது (நிரூபணம் தேவையில்லை).

எடுத்துக்காட்டு 12.20

A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் எனில்

P(A) = 0.4 மற்றும் P(A∪B) = 0.9. P(B) காண்க

தீர்வு

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A).P(B) (A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள்)

அதாவது, 0.9 = 0.4 + P(B) - (0.4) P(B)

0.9 - 0.4 = (1 - 0.4) P(B)

P(B) = 5/6

எடுத்துக்காட்டு 12.21

வேகமாக ஊடுருவும் ஓர் எதிரி நாட்டு விமானத்தை ஒரு விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கியின் உதவியால் அதிகபட்சமாக நான்கு முறை மட்டுமே சுட (பயன்படுத்த) முடியும். அந்த விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் சுட்டு வீழ்த்துவதற்கான நிகழ்தகவுகள் முறையே 0.2, 0.4, 0.2 மற்றும் 0.1 எனில் அந்த விமானத்தைச் சுட்டு வீழ்த்துதலுக்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

தீர்வு

H1, H2, H3, H4 என்பன முறையே விமானத்தை முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க.   என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.

விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டுவீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு

= 1 - (0.8) (0.6) (0.8) (0.9) = 1 – 0.3456

P(H) = 0.6544

எடுத்துக்காட்டு 12.22

X என்பவர் 70% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவர். Y என்பவர் 90% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவர் எனில் ஒரே கருத்தை இருவரும் கூறுகையில் ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைத் தெரிவிப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது? 

தீர்வு

A என்பது X என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க. B என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க. C என்பது ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைக் கூறும் நிகழ்ச்சி என்க.

Ā என்பது X என்பவர் உண்மை பேசாமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.   என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசாமலிருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. C = (A உண்மை பேசுவது மற்றும் B உண்மை பேசாதிருப்பது அல்லது B உண்மை பேசுவது மற்றும் A உண்மை பேசாதிருப்பது என்க.) கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து,

P(A) = 0.70 ⇒ P(Ā) = 1− P(A) = 0.30

P(B) = 0.90 ⇒ P ( ) = 1 - P(B) = 0.10

= (0.70) (0.10) + (0.30) (0.90)

= 0.070 + 0.270 = 0.34

P(C) = 0.34.

எடுத்துக்காட்டு 12.23

ஒரு நகரத்தில் உள்ள பிரதான சாலையில் 4 குறுக்குச் சாலையுடன் போக்குவரத்து சமிக்கைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு போக்குவரத்துச் சமிக்ஞை திறப்பதற்கு அல்லது மூடுவதற்கான நிகழ்தகவு முறையே 0.4 மற்றும் 0.6 ஆகும்.

(i) முதல் குறுக்குச்சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.

(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.

தீர்வு

A1 என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்ஞை i வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. இங்கு i = 1, 2, 3, 4.

B1 என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்ஞை i வது குறுக்குச் சாலையில் நின்று செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. இங்கு i = 1, 2, 3, 4. 

போக்குவரத்துச் சமிக்ஞைகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள். எனவே A மற்றும் B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், இங்கு i = 1, 2, 3, 4.

கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து

P(A1) = 0.4, i = 1, 2, 3, 4

P(B1) = 0.6, i = 1, 2, 3, 4

(i) முதல் குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு, P(A1) = 0.4.

(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு 

P(A1∩A2) = P(A1A2) = (0.4) (0.4) = 0.16

(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு

P(A1∩A2∩B3∩A4) = P(A1A2 B3A4) = (0.4) (0.4) (0.6) (0.4) = 0.0384

(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு

P(B1A2 A3A4 ∪ A1B2A3A4 ∪ A1A2B3A4 ∪ A1A2A3B4)

= P(B1A2A3A4) + P(A1B2A3A4) + P(A1A2B3A4) + P(A1A2A3B4) 

= 4(0.4) (0.4) (0.6) (0.4) = 4(0.0384) = 0.1536