குவிபுப் பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு (Cumulative Distribution Function or Distribution Function)

3. குவிபுப் பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு (Cumulative Distribution Function or Distribution Function)

பல தருணங்களில் நிகழ்தகவைக் கண்டறியும்பொழுது, சமவாய்ப்பு மாறி X, ஏற்கும் மதிப்புகளானது ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் x-க்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதைக் காணலாம். ஒவ்வொரு மெய்யெண் x -க்கும் F(x) = P (X ≤ x) என்றிருந்தால், F(x)-ஐ சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் குவிவு பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு மற்றும் அதன் பொதுவான சுருக்கம் cdf ஆகும். 

வரையறை 11.4 (குவிவு பரவல் சார்பு)

x1 < x2 < x3 < ….. எனும்படி x1, x2 , x3 மதிப்புகளுக்கு F(x)-ஐ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பாகக் கொண்டிருக்கும் தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -இன் குவிவு பரவல் சார்பு F(x)-இன் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு F ( x) = P ( X ≤ x ) = ∑xi≤x f ( xi ), x ∈ ℝ ஆகும்.

தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு தனிநிலை பரவல் சார்பு எனப்படுகிறது. எனினும், நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு f (x) என்பது x1 , x2 , x3 எனும் தனிநிலை மதிப்புகள் கணத்திற்குத்தான் வரையறுக்கப்பட்டது. குவிவு பரவல் சார்பு F(x) என்பது அனைத்து மெய் மதிப்புகளான x ∈ ℝ -க்கு வரையறுக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு நிறை சார்பினைப் பயன்படுத்தி குவிவு பரவல் சார்பினைக் கணிக்கலாம். 

X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி, x1 , x2 , x3 , . . . xn , (x1 < x2 < x3 <, . . .  < xn ) என்ற முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை மட்டும் கொண்டிருந்தால் , அதன் குவிவு பரவல் சார்பினை கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கலாம்.

தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு ,குவிவு பரவல் சார்பு கீழ்க்காணும் பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது.

(i) அனைத்து x ∈  ℝ -க்கு 0 ≤ F (x) ≤ 1,

(ii) F(x), ஒரு மெய் மதிப்புடையக் குறைவுறாச் சார்பு ஆகும் (x < y, எனில் F(x) ≤ F(y)). 

(iii) F(x) ஒரு வலப்பக்கத் தொடர் சார்பு ஆகும் (limx→a+ F(x) =  F (a). 

(iv) lim x → -∞ F (x) = F(-∞) = 0 .

(v) lim x → +∞ F (x) = F(+∞) = 1 .

(vi) P (x1 < X ≤  x2 ) = F (x2) − F (x1).

(vii) P (X > x) = 1 − P (X≤ x) = 1 − F (x) .

(viii) P ( X = xk ) = F( xk ) − F( xk− ) .

குறிப்பு

சில நூலாசிரியர்கள் குவிவு பரவல் சார்பு F(x) -இன் வரையறைக்கு வலப்பக்கத் தொடர்ச்சிக்கு பதிலாக இடப்பக்க தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.