அடுக்குகள் (Exponents and Powers)

அடுக்குகள் (Exponents and Powers)

பெரிய எண்களைப் பின்வரும் முறையில் சுருங்கிய வடிவில் எழுதலாம். எண் 16ஐக் கருதுக.

எடுத்துக்காட்டுக, 16 = 8 × 2 = 4 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2

2 என்னும் காரணியை மீண்டும் மீண்டும் 4 முறை எழுவதற்குப் பதிலாக, 24 என்று எளிமையாகக் குறிப்பிடலாம். (24ஐ 'இரண்டின் அடுக்கு நான்கு’ என்று படிக்கவேண்டும்).

எண்களை இவ்வாறு குறிப்பிடும் முறையை அதன் 'அடுக்கு வடிவம்' (exponential form) என்பர். இங்கு, 2 என்பது 'அடிமானம்' (base) எனவும், 4 என்பது 'அடுக்கு' (power) எனவும் அழைக்கப்படும்.

குறிப்பு 

அடுக்குகளை வழக்கமாக அடிமானத்தின் வலது உச்சி மூலையில், அடிமானத்துடன் ஒப்பிடும்போது அளவில் சிறியதாக இருக்குமாறு எழுத வேண்டும். 

மேலும், சில உதாரணங்களைப் பார்க்கலாம்.

64 = 4 × 4 × 4 = 43  (அடிமானம் 4; அடுக்கு 3) 

மேலும், 64  = 8 × 8 = 82 (அடிமானம் 8; அடுக்கு 2) 

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =35 (அடிமானம் 3; அடுக்கு 5)

125 = 5 × 5 × 5 = 53      (அடிமானம் 5; அடுக்கு 3) 

ஓர் எண்ணை அதன் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுதும்போது, சில காரணிகள் மீண்டும் மீண்டும் வந்தால், அந்த எண்ணை அடுக்கு வடிவில் எழுத முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மீண்டும் மீண்டும் வரும் காரணியானது அடிமானம் ஆகும். அது எத்தனை முறை வருகிறது என்ற எண்ணிக்கையானது அதன் அடுக்கு ஆகும்.

மேலும், அடிமானம் குறை முழுக்களாக இருக்கும்பொழுதும், இவ்வகை அடுக்குக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். உதாரணத்திற்கு,

-125= (-5) × (-5) × (-5) = (-5)3 [அடிமானம் '-5'; அடுக்கு '3'] 

எனவே, -125 இன் அடுக்கு வடிவம் (-5)3 ஆகும்.

எங்கும் கணிதம் - அன்றாட வாழ்வில் இயற்கணிதம்

ஒரு கணிப்பானில் (calculator) இரு பெரிய எண்களைப் பெருக்கும்போது 1.219326E17 எனக் காட்டினால், அதன் பொருள் 1.219326×1017 ஆகும். இங்கு, ‘E’ என்பது 10 ஐ அடிமானமாகக் கொண்ட அடுக்கு ஆகும்.

எண்களின் அடுக்கு வடிவம் (Numbers in Exponential Form)

தற்பொழுது, அடுக்கு வடிவில் எண்களை விவரித்து எழுதுவது குறித்துக் காண்போம். 'a' என்னும் ஏதேனும் ஒரு முழுவைக் கருதுக. 

பின்னர், a = a1 ['a' இன் அடுக்கு 1]

a × a = a2 [‘a' இன் அடுக்கு 2; a ஐ அதே எண்ணுடன் 2 முறை பெருக்கக் கிடைப்பது] 

a × a × a = a3 ['a' இன் அடுக்கு 3; a ஐ அதே எண்ணுடன் 3 முறை பெருக்கக் கிடைப்பது]

:    :    :

 :    :    :

a × a ×...× a (n தடவைகள்) an ['a' இன் அடுக்கு n; a ஐ அதே எண்ணுடன் n முறை பெருக்கக் கிடைப்பது]

ஆகவே, அடுக்குக் குறியீடுகளின் பொது வடிவம் an ஆகும். இங்கு அடுக்கு ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள் ஆகும். (n > 0). 

பின்வரும் உதாரணங்களைக் கவனிக்க.

100 =10×10 =102

இதனை ஒரே அடுக்குடன் இரு வேறுவிதமான அடிமானங்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுத முடியும்.

100 = 25 × 4 = (5×5) × (2×2) = 52 × 22

5 மற்றும் 2 அடிமானமாகவும், 2 அடுக்காகவும் உள்ளதைக் கவனிக்கவும்.

இதேபோல், a × a × a × b × b = a3×b2

35 = 71 × 51, என்பதைக் கருதுக. இங்கு காரணிகள் மீண்டும் மீண்டும் வரவில்லை. வழக்கமாக 71 × 51 என்பது 7×5 எனக் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே, அடுக்கு 1 ஆக இருக்கும்பொழுது அதனை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுவதில்லை .

சிந்திக்க  

குறிப்பு 

1. அடுக்குகள் 2 மற்றும் 3 இக்கு முறையே 'வர்க்கம்', 'கனம்' என்ற சிறப்புப் பெயர்கள் உண்டு .

உதாரணமாக, 42 ஆனது 4 இன் ‘வர்க்கம்' என்றும் 43 ஆனது ‘4இன் கனம்' என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. 

2. அடுக்குகளை ஆங்கிலத்தில் இண்டிசஸ் (INDICES) என்றும் குறிப்பிடுவர். இந்த வார்த்தையை நினைவு இருக்கிறதா? ஆறாம் வகுப்பில், எண் கோவையைச் சுருக்க உதவும் BIDMAS விதியில் 1 என்னும் எழுத்தைக் குறிப்பதாகும். 

உதாரணமாக, 

63 +4×3−5 =(6×6×6)+4×3−5[BIDMAS]

= 216 + (4×3) – 5 [BIDMAS]

= 216 +12–5 [BIDMAS]

= 228 – 5 [BIDMAS]

= 223

இவற்றை முயல்க 

பின்வரும் அட்டவணையைக் கவனிக்க, முதல் வரிசையை மாதிரியாகக் கொண்டு நிறைவு செய்க. 

எடுத்துக்காட்டு 3.1 

729 ஐ அடுக்கு வடிவில் எழுதுக. 

தீர்வு

 3 ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36

மேலும், 729 = 9 × 9 × 9 = 93

எடுத்துக்காட்டு 3.2 

பின்வரும் எண்களை, கொடுக்கப்பட்ட அடிமானத்தைப் பொறுத்து அடுக்கு வடிவில் எழுதுக: 

(i) 1000, அடிமானம் 10

(ii) 512, அடிமானம் 2

(iii) 243, அடிமானம் 3

தீர்வு

(i) 1000 =10×10×10=103

(ii) 512 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2=29

(iii) 243 = 3×3×3×3×3 = 35

எடுத்துக்காட்டு 3.3 

மதிப்பைக் காண்க. (i) 132  (ii) (-7)2 (iii) (-4)3 

குறிப்பு

(–1)n = –1, n ஓர் ஒற்றைப் படை எண். 

(–1)n = 1, n ஓர் இரட்டைப் படை எண்.

தீர்வு

(i) 132 = 13 ×13 = 169

(ii) (−7)2 = (−7) × (−7) = 49

(iii) (−4)3 = (−4) × (−4) × (−4)

=16 × (−4) = −64

பண்டைய தமிழர்கள் தம் அன்றாட வாழ்வில் மிகப்பெரிய எண்களைப் பயன்படுத்தியுள்ளனர். 10 ஆம் நூற்றாண்டில் தமிழகத்தில் வாழ்ந்த காரிநாயனார் என்பவர் இயற்றிய 'கணக்கதிகாரம்' என்னும் நூலிலிருந்து, தமிழர்கள் மிகப்பெரிய எண்களைப் பயன்படுத்தி உள்ளதை அறியலாம். மேலும், ஒவ்வொரு பெரிய எண்ணுக்கும் தனித்தனிச் சிறப்புப் பெயர்கள் சூட்டியுள்ளனர்.உதாரணமாக, பத்துக் கோடியை 'அற்புதம்' எனவும் 1014 ஐ 'பத்மம்' எனவும் 1029 ஐ 'அனந்தம்' என்றும் 1035 ஐ 'அவ்வியத்தம்' என்றும் பெயரிட்டுப் பயன்படுத்தியதனை அறிகிறோம்.

'பிங்கலந்தை நிகண்டு வாய்ப்பாடு’ என்னும் பழந்தமிழ் நூலிலும் இத்தகைய பெரிய எண்களின் பெயர்களும் அதன் பயனும் காணப்படுகிறது. இது ஒரு பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டு நூலாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.4 

23 +32 இன் மதிப்பைக் காண்க. 

தீர்வு

23 + 32 = (2×2×2) +(3×3)

= 8 + 9 =17

எடுத்துக்காட்டு 3.5 

34 அல்லது 43 இவற்றில் எது பெரிய எண்?

தீர்வு

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

 43 = 4 × 4 × 4 = 64

81 > 64 என்பதால் 34>43 ஆகும். 

எனவே, 34 என்பதே பெரிய எண்.

எடுத்துக்காட்டு 3.6  

a3b2 மற்றும் a2b3 ஐ விரித்து எழுதுக. இவை இரண்டும் சமமாகுமா? 

தீர்வு 

A3b2 = (a×a×a) × (b×b)

a2b3 = (a×a) × (b×b×b)

எனவே , a3b2 ≠ a2 b3

சிந்திக்க 

ab = ba எனுமாறு அமைந்த இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண இயலுமா? இங்கு a≠b