ஒரு சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி (Adjoint of a Square Matrix)

1. ஒரு சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி (Adjoint of a Square Matrix)

ஒரு சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி வரையறுப்பதற்கு முன் ஒரு சதுர அணியில் உள்ள உறுப்புகளுக்கும் அதன் இணைக்காரணி உறுப்புகளுக்கும் உள்ள பண்பை நினைவு கூறுவோம். A என்ற சதுர அணியின் வரிசை n என்க. இவ்வணியின் அணிக்கோவையை |A| அல்லது det(A) என்று குறிப்பிடுவோம். A. − இல் i ஆவது நிறையும் j ஆவது நிரலும் சந்திக்கும் இடத்தில் உள்ள உறுப்பு aij என்க. i ஆவது நிரையும் j ஆவது நிரலும் நீக்கக் கிடைப்பது (n − 1) வரிசையுடைய ஒரு உப அணியாகும். இந்த உபஅணியின் அணிக்கோவை மதிப்பானது aij −ன் சிற்றணிக்கோவையாகும். இதை Mij  எனக்குறிப்பிடுவோம். Mij மற்றும் (−1)i+j −ன் பெருக்கற்பலன் aij −ன் இணைக்காரணியாகும். இதை  Aij என்று குறிப்பிடுவோம். இவ்வாறாக aij −ன் இணைக்காரணி Aij = (−1)i + j Mij.

ஒரு சதுர அணியிலுள்ள உறுப்புகளையும் அவற்றின் இணைகாரணி உறுப்புகளையும் இணைக்கும் ஒரு முக்கிய பண்பானது, அவ்வணியின் அணிக்கோவையில் ஏதேனும் ஒரு நிரையின் உறுப்புகள் மற்றும் அவற்றின் ஒத்த இணைக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனின் கூடுதலானது அவ்வணிக்கோவையின் மதிப்பிற்குச் சமமாகும். மேலும் ஏதேனும் ஒரு நிரையின் உறுப்புகள் மற்றும் வேறேதேனும் நிரை உறுப்புகளின் ஒத்த இணைக்காரணிகளின் பெருக்கற்பலனின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். அதாவது,

இங்கு |A| என்பது ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பாகும். இதை A −ன் அணிக்கோவை என அழைப்போம். |A| என்பது ஒரு மெய்யெண். இது குறைமதிப்பாகவும் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக = 2 (1 – 2) − 1 (1 − 2) + 1 (2 − 2) = −2 + 1 + 0 = −1.

வரையறை 1.1

A என்பது n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணி என்க. A−ல் உள்ள ஒவ்வொரு aij யையும் அதற்கொத்த இணைக்காரணி Aij ஆல் மாற்றக் கிடைப்பது A−ன் இணைக்காரணி அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது. A −ன் இணைக்காரணி அணியின் நிரை நிரல் மாற்று அணி A−ன் சேர்ப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது. இதை Adj A எனக்குறிப்பிடுவோம்.

குறிப்பு

இங்கு Adj A என்பது n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணி மற்றும் Adj A = [Aij]r = [ (−1) i + j Mij ]T 

மூன்று வரிசை உடைய ஒரு சதுர அணி A யின் சேர்ப்பு அணியானது,

தேற்றம் 1.1

ஒவ்வொரு n வரிசையுடைய சதுர அணி A −விற்கும், A(Adj A) = (Adj A)A = |A| In

நிரூபணம்

என எடுத்துக்கொள்வோம். இத்தேற்றத்தை ஒரு 3 × 3 சதுர அணியைக் கொண்டு நிரூபிப்போம். இணைக்காரணிகளின் பண்பின்படி,

மேலே உள்ள சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது

இங்கு I3, என்பது 3 வரிசையுடைய ஒரு அலகு அணி ஆகும்.

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)−லிருந்து கிடைப்பது, A (adj A) = (adj A) A = |A| I3,. 

குறிப்பு

A என்பது n வரிசையுடைய பூச்சியக்கோவை அணி எனில் | A| = 0. எனவே

A (adj A) = (adj A) A = 0n, இங்கு 0n என்பது n வரிசையுடைய பூச்சிய அணி ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 1.1

எனில் A (adj A) = (adj A) A = |A| I3 என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

|A| = = 8 (21 − 16) + 6 (−18 + 8) + 2 (24 − 14) = 40 − 60 + 20 = 0.

சேர்ப்பு அணியின் வரையறைப்படி கிடைப்பது

இதேபோல், நமக்குக் கிடைப்பது

எனவே,

A (adj A) = (adj A) A = |A| I3 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.