நேர்மாறு அணிகளின் பண்புகள் (Properties of inverse of matrices)

3. நேர்மாறு அணிகளின் பண்புகள் (Properties of inverse of matrices)

நேர்மாறு காணத்தக்க அணிகளின் பண்புகள் சிலவற்றையும் அதில் ஒரு சில பண்புகளையும் நிரூபிக்க உள்ளோம்.

தேற்றம் 1.4

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்

(i) |A−1| = 1 / |A|

(ii) (AT)−1 = (A−1)T

(iii) (λ A)−1 = (1 / λ) A−1, இங்கு λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி 

நிரூபணம்

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் A−1 காண இயலும். வரையறைப்படி,

AA−1 = A−1A = In  … (1)

(i) சமன்பாடு (1) மூலம் கிடைப்பது |AA−1| = |A−1A│= |In|.

அணிக்கோவையின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த |A| |A−1| = |In| = 1. 

எனவே, |A−1| = 1 / |A|

(ii) சமன்பாடு (1) − இலிருந்து, (AA−1)T = (A−1A)T = (In)T.

நிரை நிரல் அணியின் வரிசைமாற்று விதிப்படி, (A−1)T AT = AT (A−1)T = In

எனவே, (AT)−1 =(A−1)T.

(iii) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி ஆதலால் சமன்பாடு (1) − இலிருந்து,

எனவே, (λA)−1 = (1 / λ) A−1

தேற்றம் 1.5 (இடது நீக்கல் விதி)

A, B மற்றும் C என்பன n வரிசையுடைய சதுர அணிகள் என்க. A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் AB = AC எனில், B = C. 

நிரூபணம்

A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி. எனவே A−1 காண இயலும் மற்றும் AA−1 = A−1A = In. AB = AC −இன் இருபுறமும் முன்புறமாக A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A−1(AB) = A−1(AC). அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு மற்றும் அணியின் நேர்மாறு பண்பைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது B = C.

தேற்றம் 1.6 (வலது நீக்கல் விதி)

A, B மற்றும் C என்பன n வரிசையுடைய சதுர அணிகள் என்க. A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் BA = CA எனில், B = C.

நிரூபணம்

A ஆனது பூச்சியமற்ற கோவை அணி. எனவே A−1 காண இயலும் மற்றும் AA−1 = A−1A = In. BA = CA −யின் இருபுறமும் பின்புறமாக A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (BA)A−1  = (CA)A−1. அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு மற்றும் அணியின் நேர்மாறு பண்பைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது B = C.

குறிப்பு

A ஆனது பூச்சியக்கோவை அணி மற்றும் AB = AC அல்லது BA = CA, எனில் B − யும் C − யும் சமமாக இருக்க வேண்டியது இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக,

எனக்கொள்க.

இங்கு |A| = 0 மற்றும் AB = AC ஆனால் B ≠ C என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

தேற்றம் 1.7 (நேர்மாறுகளின் வரிசை மாற்று விதி)

A மற்றும் B என்பன ஒரே வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் AB −யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும் (AB)−1 = B−1A−1.

நிரூபணம்

A மற்றும் B என்பன n வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் என்க. எனவே |A| ≠ 0, |B| ≠ 0, எனவே A−1 மற்றும் B−1 காணமுடியும் மற்றும் அவைகள் n வரிசையுடையனவாக இருக்கும். மேலும் AB மற்றும் B−1A−1 −களின் பெருக்கற்பலன்கள் n வரிசையுடையனவாக இருக்கும். அணிக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலன் விதிப்படி கிடைப்பது |AB| = |A| |B| ≠ 0. எனவே AB −யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும்

(AB) (B−1A−1) = (A(BB−1)) A−1 = (AIn) A−1 = AA−1 = In ; 

(B−1A−1) (AB) = (B−1(A−1A))B = (B−1 In)B = B−1B = In.

எனவே (AB)−1 = B−1A−1

தேற்றம் 1.8 (இரட்டிப்பு நேர்மாறு விதி)

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் A−1−யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணி மற்றும் (A−1) −1 = A.

நிரூபணம்

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் A−1 காண இயலும்.

|A−1| = 1 / |A| ≠ 0 ⇒ A−1 ஆனது பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும்

AA−1 = A−1A = I. 

AA−1 = 1 ⇒ (AA−1)−1 = I  ⇒ (A−1) −1 A −1 = I. … (1)

(1)−ன் இருபுறமும் A −ஆல் பின்புறமாக பெருக்கக் கிடைப்பது (A−1)−1 = A.

தேற்றம் 1.9

A என்பது n வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்

(i) (adj A)−1 = adj (A−1) = (1 / |A|) A

(ii) |adj A│ = |A|n−1

(iii) adj (adj A) = |A|n−2 A

(iv) adj (λA) = λ n−1 adj (A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி

(v) |adj (adj A)| = |A|(n−1)2 

(vi) (adj A)T = adj (AT)

நிரூபணம்

A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் |A| ≠ 0. எனவே

(i) A−1 = (1 / | A|) (adj A) ⇒ adj A = | A| A−1 ⇒ (adj A)−1 = (|A |) A−1)−1 = (1 / |A |) (A−1)-1 = (1 / |A |) A. 

A −விற்கு  பதில் A−1 –ஐ adj A = | A| A−1 −ல் பிரதியிட adj (A)−1 = | A−1|  (A−1)−1 = (1 / |A |) A.

எனவே கிடைப்பது (adj A)−1 = adj (A−1) = (1/|A |) A. 

(ii) A(adj A) = (adj A)A = |A|In ⇒ det (A(adj A)) = det ((adj A) A) = det (|A| In) 

⇒ |A| |adj A| = |A|n ⇒ |adj A| = |A| n−1

(iii) B என்பது n வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்

B (adj B) = (adj B) B = |B| In.

B = adj A எனப்பிரதியிடக் கிடைப்பது, (adj A) (adj (adj A)) = |adj A| In.

|adj A| = |A|n−1 ஆதலால், (adj A) (adj (adj A)) = |A|n−1 In.

இருபுறமும் A ஆல் முன்புறமாக பெருக்கக் கிடைப்பது

A ((adj A) (adj (adj A))) = A (|A|n−1 In).

அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,

(A (adj A)) (adj (adj A)) = A (|A| n−1 In).

எனவே (|A| In) (adj (adj A)) = |A| n−1 A. அதாவது adj (adj A) = |A|n−2 A.

(iv) A  −விற்கு λA என adj (A) = |A|A−1 என்பதில் பிரதியிடக் கிடைப்பது

adj(λA) = |λA| (λ.A)−1 = λn |A│ (1/λ) A−1 = λn−1 |A| A−1 = λn−1 adj(A) .

(v) (iii) −ன்படி adj (adj A) = |A|n−2 A. இருபுறமும் அணிக்கோவை காணக் கிடைப்பது

|adj (adj A)| = | | A| n−2 A | = (|A| n−2)n |A| = |A| n2−2+1 = |A|( n−1)2 

(vi) A −விற்கு பதில் AT என A−1 = (1 / |A|) adj A என்பதில் பிரதியிடக் கிடைப்பது,

(AT)−1 = (1 /  |AT|) adj (AT) எனவே

adj (AT) = |AT| (AT)−1 = |A| (A−1)T =  ( |A| A−1) T = (|A| (1 / |A|) adj A)T = (adj A)T.

குறிப்பு

A என்பது 3 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் |A| ≠ 0. தேற்றம் 1.9 (ii) படி கிடைப்பது |adj A| = |A|2 மற்றும் |adj A| ஆனது மிகை. எனவே | A| = ± √ [ |adj A| ].

எனவே

மேலும் தேற்றம் 1.9 (iii) இன் படி கிடைப்பது, A = (1 / |A|) adj (adj A).

எனவே, A ஆனது 3 படி வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை எனில்,

எடுத்துக்காட்டு 1.4

A என்பது ஒற்றை வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் |adj A| என்பது மிகை என நிறுவுக.

தீர்வு

A என்பது 2m + 1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0, 1, 2, . . . எனவே |A| ≠ 0  மற்றும் தேற்றம் 1.9 (ii) இன் படி கிடைப்பது, |adj A| = |A|(2m+1)−1 = |A|2m.

|A|2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

எடுத்துக்காட்டு 1.5

adj (A) =   எனில், A −ஐக் காண்க.

தீர்வு

|adj (A)| =  = 7 (77 − 35) – 7 (−7 − 77) − 7 (−5 − 121) = 1764 > 0.

எனவே

எடுத்துக்காட்டு 1.6

adj A = எனில் A−1 −ஐக் காண்க.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 1.7

A என்பது சமச்சீர் அணி எனில் adj A சமச்சீர் அணி என நிறுவுக.

தீர்வு

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே AT = A மற்றும் தேற்றம் 1.9 (vi) இன் படி கிடைப்பது adj (AT) = (adj A)T ⇒ adj A = (adj A)T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

தேற்றம் 1.10

A மற்றும் B என்பன n வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் எனில்

adj (AB) = (adj B) (adj A).

நிரூபணம்

A−விற்கு பதில் AB என adj (A) = |A| A−1 −ல் பிரதியிட

adj (AB) = |AB| (AB)−1 = (|B| B−1) (|A| A−1) = adj(B) adj(A).

எடுத்துக்காட்டு 1.8

A = எனில் (AT)−1 = (A−1)T என்ற பண்பை சரிபார்க்க.

தீர்வு

| A| = (2) (7) − (9) (1) = 14 − 9 = 5. எனவே, A−1 = 

எனவே, 

 (1) மற்றும் (2)−லிருந்து கிடைப்பது, (A−1)T = (AT)−1. எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.9

எனக்கொண்டு (AB)−1 = B−1A−1 என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)−1 = B−1A−1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.10

A = எனில், A2 + xA + yI2 =O2 எனுமாறு x மற்றும் y −ஐ காண்க. இதிலிருந்து A−1 காண்க. 

தீர்வு

இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பவை 22 + 4x + y = 0, 31 + 5x + y = 0, 27 + 3x = 0 மற்றும் 18 + 2x = 0

எனவே x = −9 மற்றும் y = 14. பின்பு நமக்குக் கிடைப்பது A2 − 9A + 14I2 = O2.

இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A − 9I2 + 14A−1 = O2.

இதிலிருந்து கிடைப்பது