ஓர் அணியின் மீதான தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் (Elementary transformations of a Matrix)

ஓர் அணியின் மீதான தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள்

(Elementary transformations of a Matrix)

தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் மற்றும் தொடக்கநிலை நிரல் செயலிகள் என்றழைக்கப்படும் சில செயலிகள் (operations) மேற்கொள்வதன் மூலம் ஓர் அணியை பிறிதோர் அணியாக மாற்றலாம். 

1. தொடக்கநிலை நிரை மற்றும் நிரல் செயலிகள் (Elementary row and column operations)

ஓர் அணியில் தொடக்கநிலை நிரை (நிரல்) செயலிகளாவன:

(i) ஏதேனும் இரு நிரைகளை (நிரல்களை) பரிமாற்றம் செய்தல்.

(ii) ஓர் அணியில் உள்ள ஒரு நிரையில் (நிரலில்) உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒரு பூச்சியமற்ற திசையிலியால் பெருக்கி அதே நிரையில் திரும்பப் பிரதியிடல்.

(iii) ஓர் அணியில் உள்ள ஒரு நிரையில் (நிரலில்) உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புடன் ஒரு பூச்சியமற்ற நிரையில் (நிரலில்) உள்ள ஒத்த உறுப்பின் ஒரு பூச்சியமற்ற திசையிலி பெருக்கற் பலனைக் கூட்டுதல்.

ஒரு அணியின் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் மற்றும் நிரல் செயலிகளை தொடக்கநிலை உருமாற்றம் என்கிறோம்.

பின்வருவன ஓர் அணியில் நாம் பயன்படுத்தும் தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்களின் குறியீடுகள் ஆகும்.

(i) i ஆவது மற்றும் j ஆவது நிரைகளை பரிமாற்றம் செய்யப்படுவதை Ri ↔  Rj எனக்குறிக்கின்றோம்.

(ii) i ஆவது நிரையில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் λ என்ற பூச்சியமற்ற மாறிலியால் பெருக்கப்படுவதை Ri →  λ Ri என குறிக்கின்றோம்.

(iii) i ஆவது நிரையுடன் j ஆவது நிரையை பூச்சியமற்ற மாறிலி λ −ஆல் பெருக்கிக் கூட்டுவதை Ri → Ri + λ Rj எனக்குறிக்கின்றோம்.

இதேபோன்ற குறியீடுகளைத் தொடக்கநிலை நிரல் மாற்றங்களுக்கும் பயன்படுத்துகிறோம். 

வரையறை 1.4

A, B என்ற இரு ஒரே வரிசையுடைய அணிகளில் ஏதாவது ஓர் அணியை தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் மூலம் மற்ற அணியாகப் பெற முடியுமெனில், Aயும் Bயும் சமான அணிகள் (equivalent matrices) என்றழைக்கப்படும். A ஆனது B−க்குச் சமான அணி என்பதை A  ~ B என்று குறியீட்டில் எழுதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, என்ற அணியை எடுத்துக்கொள்வோம்.

A என்ற அணியில் R2 → R2 + R1 என்ற தொடக்கநிலை நிரை செயலி மூலம் கிடைக்கும் அணியை B என்க. B −ன் இரண்டாவது நிரையானது A −ன் இரண்டாவது மற்றும் முதல் நிரைகளின் கூடுதலாகும்.

எனவே A  ~ B =

மேலே உள்ள தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

குறிப்பு

கொடுத்துள்ள அணியை தொடக்கநிலை உருமாற்றம் செய்து பெறும் அணியானது கொடுத்துள்ள அணிக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை.