காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை (Gaussian Elimination Method)

3. (iii) காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை (Gaussian Elimination Method)

நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பில் உள்ள கெழுக்களின் அணியானது சதுர அணியாக இல்லாவிட்டாலும் இம்முறையைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காணலாம். இது நாம் ஏற்கனவே அறிந்துள்ள பிரதியிடல் முறையில் தீர்க்கும் முறையேயாகும். இம்முறையில், நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு உருமாற்றி பின்பு பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் தீர்வு காண்பதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.27

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்க: 

4x + 3y + 6z = 25, x + 5y + 7z = 13, 2x + 9y + z = 1.

தீர்வு

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,

ஏறுபடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது

x + 5y + 7z = 13,    ... (1)

17y + 22z = 27,     ... (2)

199z = 398.         ... (3)

(3)−லிருந்து நாம் பெறுவது z = 398 / 199 = 2.

z = 2 என (2) −ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது y = (27 – (22 × 2)) / 17 = −17 / 17 = −1.

z = 2 மற்றும் y = −1 என (1)−ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது x = 13 – 5 × (−1) −7 × 2 = 4.

எனவே தீர்வானது (x = 4, y = −1, z = 2).

குறிப்பு: கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டிற்கு மேலே உள்ள முறையானது பின்னோக்கி பிரதியிடல் முறை என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.28

ஒரு ராக்கெட்டின் மேல் நோக்கிய வேகம் t நேரத்தில் தோராயமாக v(t) = at2  + bt + c என்றவாறு உள்ளது. இங்கு 0 ≤ t ≤ 100 மற்றும் a, b, c என்பன மாறிலிகள். ராக்கெட்டின் வேகம் t = 3, t = 6, மற்றும் t = 9 வினாடிகளில் முறையே 64, 133, மற்றும் 208 மைல்கள் / வினாடி எனில் t = 15 வினாடியில் அதன் வேகத்தைக் காண்க. (காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக).

தீர்வு

v(3) = 64, v(6) = 133 மற்றும் v(9) = 208. ஆதலால் பின்வரும் நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்.

9a + 3b + c = 64,

36a + 6b + c = 133,

81a + 9b + c = 208.

மேல் உள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்க உள்ளோம். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை − ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம் பெறுவது,

ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்

9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, c = 1.

பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் மூலம் நமக்குக் கிடைப்பது

c = 1, b = (41 − c) / 2 = (41 − 1) / 2 = 20, a = (64 – 3b − c) / 9 = (64 – 60 – 1) / 9 = 1 / 3.

ஆதலால் v(t) = (1 / 3)t2 + 20t + 1.

எனவே, v(15) = (1 / 3) (225) + 20 (15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376 மைல்கள் / வினாடி.