பாஸ்கல் முக்கோணம் (Pascal's Triangle)

பாஸ்கல் முக்கோணம் (Pascal's Triangle)

பிரபலப் பிரஞ்சு கணிதவியலாளரும் மற்றும் தத்துவஞானியுமான ப்லேஸ் பாஸ்கலினால் (Blaize Pascal) உருவாக்கப்பட்டுள்ள பாஸ்கல் முக்கோணம் என்பது எண்களின் முக்கோணமாகும். இந்த பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் எண் அமைப்பானது பல்வேறு வகையான எண் அமைப்புகளை அறிந்து கொள்வதற்கு நிறைய வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

செயல்பாடு

1. பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் வரிசைகளின் எண் அமைப்பை உற்றுக் கவனித்து விடுபட்ட கட்டங்களை நிரப்புக.

தீர்வு : 

2. முழுவதும் நிரப்பப்பட்ட மேலுள்ள பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் உள்ள சாய்வு வரிசைகளை நகர்த்துவதன் மூலம் ஏற்படும் தொடரைக் கவனித்து, விடுபட்டதை நிரப்புக. ஒன்று உங்களுக்காக செய்யப்பட்டுள்ளது.

(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

(ii) 1, 3, 6, 10, 15, 21.

(iii) 1, 4, 10, 20, 35.

(iv) 1, 5, 15, 35.

3. பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் 3 வது மற்றும் 4 வது சாய்வு  வரிசையில் அடுத்தடுத்து வரும் எண்களுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டறிந்து விடுபட்டதை நிரப்புக.

தீர்வு :

எடுத்துக்காட்டு 5.2

பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் 3 வது சாய்வு வரிசையில் x என்பது எண் அமைந்துள்ள இடத்தையும், y என்பது அந்த எண்களையும் குறிக்கிறது எனில், கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுபோல் அட்டவணைப்படுத்தினால் y = x(x+1)/2 என்பதைக் கீழுள்ள அட்டவணை மதிப்புகளுக்குச்  சரிபார்த்து நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு

அட்டவணையினை உற்றுநோக்கவும். x இன் மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டு உரிய y இன் மதிப்புகளை பெறுவதின் மூலம் அவற்றிற்கிடையையான தொடர்பினைச் சரிபார்க்கவும்.

x =1  எனில், y= 1(1+1)/2=2/2=1

x=2 எனில், y = 2(2+1)/2 = 6/2=3

x=3 எனில், y= 3(3+1)/2 = 12/2=6

x=4 எனில், y = 4(4+1)/2 = 20/2=10

x=5 எனில், y= 5(5+1)/2 = 30/2 = 15

எனவே, y = x(x+1)/2  என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது.

சிந்திக்க 

அடுத்தடுத்த இரண்டு x  மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகையின் பாதியானது y  இன் மதிப்பாகிறது. 

எடுத்துக்காட்டு 5.3 

பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு வரிசையிலுள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஓர் அமைப்பை ஏற்படுத்துமா? 

தீர்வு

ஒவ்வொரு வரிசையும் அந்தந்த வரிசையில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன :

நாம் உற்றுநோக்கினால் ஒவ்வொரு வரிசையில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் 2 இன் அடுக்குகளாக அமைந்துள்ளதை அறிய முடிகிறது.

முதல் வரிசை = 21−1 =1

2ஆம் வரிசை = 22-1=2 × 1=2

3 ஆம் வரிசை =23-1=2 × 2=4

4 ஆம் வரிசை =24-1=2 × 2 × 2=8 

5 ஆம் வரிசை = 25-1=2 × 2 × 2 × 2=16

6 ஆம் வரிசை = 26-1=2 × 2 × 2 × 2 × 2=32

7ஆம் வரிசை = 27-1=2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2=64

8ஆம் வரிசை = 28-1=2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2=128

இங்கு x என்பதை வரிசைகளின் எண்ணிக்கையாகவும், y என்பதை வரிசையில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகவும் எடுத்துக்கொண்டு கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்தலாம். 

x மற்றும் y இக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு y = 2x-1 என்பதாகும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் சாய்வு வரிசைகளில் ஒரே வண்ணத்தில் வண்ணமிடப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகையை உற்று நோக்குக. கிடைக்கும் எண் தொடர் வரிசை பிபோனஸி தொடர்வரிசை என்று அழைக்கப்படும்.

இவற்றை முயல்க

1. முன்னர் கொடுக்கப்பட்ட பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் உள்ள சாய்வு வரிசை எண்களை உற்று நோக்கி அமைப்பைக் கண்டறிந்து விடுபட்ட கட்டங்களை நிரப்புக.

தீர்வு :

2. கொடுக்கப்பட்ட பாஸ்கல் முக்கோணத்தை நிரப்புக. நீங்கள் நிரப்பிய எண்களுக்கான பொதுவான பண்பினைக் கண்டறிந்து சூழ்நிலை 2 இல் குறிப்பிடப்பட்ட அமைப்போடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்து விவாதிக்கவும்.

தீர்வு  :

எடுத்துக்காட்டு 5.4  

பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது போல் எந்த ஓர் அறுங்கோண வடிவ எண்களையும் ஒன்றுவிட்டு ஒன்று பெருக்கினால் ஒரே விடைதான் வரும் என்பதைத் தரப்பட்டுள்ள 3 விதமான அறுங்கோண வடிவில் உள்ள எண்களைக் கொண்டு சரிபார்க்க.

தீர்வு

சிந்திக்க 

1, 3, 6, 10... என்ற எண்கள் முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. ஆகவே, அவை முக்கோண எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எப்படி?