ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் எல்லை மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மையின்மீள்பார்வை (நினைவு கூர்தல்) (Recall of Limit and Continuity of Functions of One Variable)

ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் எல்லை மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மையின்மீள்பார்வை (நினைவு கூர்தல்) (Recall of Limit and Continuity of Functions of One Variable) 

இரு மாறிகளில் அமைந்த சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையைப் பற்றி படிப்பதற்கு முன்னர் ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையை நினைவு கூர்வோம். XI-ஆம் வகுப்பில் பின்வரும் வரையறையை நாம் பார்த்துள்ளோம்.

f: (a,b) → ℝ என்ற சார்பு, x0∈ (a,b) என்ற புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது எனில் பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும். 

(1) x0 இல் f வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் 

(2)  lim x →x0  f (x) = L எல்லை மதிப்பு உள்ளது

(3) L = f(x0) 

மேற்கண்ட இரண்டாவது நிபந்தனையை சரியாகப் புரிந்து கொள்வதில்தான் தொடர்ச்சித்தன்மையின் முக்கிய கருத்து உள்ளது. x-ன் மதிப்பு x0 -ஐ நெருங்க நெருங்க f (x) -ன் மதிப்பு L-ஐ நெருங்கி நெருங்கிச் செல்வதை lim x →x0 f (x) = L என எழுதுகின்றோம்.

இன்னும் தெளிவாகவும், துல்லியமாகவும் புரிந்து கொள்ள இரண்டாவது நிபந்தனையை அண்மைப் பகுதியைக் கொண்டு மாற்றி எழுதுவோம். இது இரண்டு மாறிகளில் அமைந்த சார்புகளின் தொடர்ச்சியைப் பற்றி அறிய உதவும்.

வரையறை 8.5 (சார்பின் எல்லை)

f : (a,b) → ℝ மற்றும் x0∈ (a,b) என்க. L-ன் ஒவ்வொரு அண்மைப்பகுதி (L - Ɛ, L + Ɛ), Ɛ > 0-க்கும் f (x) ∈ (L – Ɛ, L + Ɛ), x ∈ (x0 - δ, x0 + δ) \ {x0 } எனுமாறு x0 -க்கு ஒரு அண்மைப்பகுதி (x0 – δ, x0 + δ) ⊂ (a,b), δ > 0 இருக்குமானால் x = x0 இல் f -ன் எல்லை மதிப்பு L என்கிறோம்.
மேற்கண்ட அண்மைப்பகுதி வழியான நிபந்தனையை மட்டு மதிப்பு பயன்படுத்தியும் கீழ்க்கண்டவாறு கூறலாம்:

∀Ɛ > 0 , |f (x) - L| < Ɛ எனுமாறு Ǝδ > 0 மற்றும் 0 <| x - x0| < δ. 

இதன் பொருள் x ≠ x0 மற்றும் x -ன் மதிப்பு x0- இலிருந்து δ தூரத்திற்குள்ளாக இருக்குமானால் f(x) என்பது L -இலிருந்து Ɛ தூரத்திற்குள்ளாக இருக்கும்.

பின்வரும் படங்கள் Ɛ மற்றும் δ - க்கு இடையேயான தொடர்பை விளக்கும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகள் (1) = (2) எனில் x0 -ஐ தவிர x0 -ன் அருகாமைப் பகுதியின் f என்ற சார்பின் x0 - க்கான எல்லை மதிப்பு உள்ளது என்பதை நாம் XI -ஆம் வகுப்பில் படித்துள்ளோம்.

 (1) lim x →x0+ f (x) = L1 (வலது எல்லை )

(2) limx →x0− f (x) = L2  (இடது எல்லை )

(3) L1 = L2

x0 இல் f என்ற சார்பு வரையறுக்கப்பட்டது என்க.

அதாவது f (x0) = L. தற்போது L = L1 = L2 எனில் சார்பு f ஆனது x = x0 இல் தொடர்ச்சியானது ஆகும். ஒரு மாறியை கொண்ட சார்புகளின் எல்லை மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மையில் அண்மைப் பகுதி ஒரு முக்கிய பங்காற்றுகின்றது என்பதைக் கவனிக்க. இந்த நிலையில் x0 ∈ℝ -ன் அண்மைப் பகுதி (x0 - r, x0 + r), r > 0 ஆக இருக்கும். இரு மாறிகளைக் கொண்ட சார்புகளின் எல்லை மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை பற்றி அறிய (u,v) ∈ ℝ 2 -ன் அண்மைப் பகுதியை வரையறுக்க வேண்டியுள்ளது. எனவே (u,v) ∈ ℝ2 மற்றும் r > 0-க்கு , (u,v) என்ற புள்ளியின் அண்மைப்பகுதி

B, ((u, v)) = {(x, y) ∈ ℝ2 | (x - u)2 + (y - v)2 < r2} என்ற கணமாகும்.

(u, v) என்ற புள்ளியின் r அண்மைப் பகுதி என்பது மையம் (u, v) மற்றும் ஆரம் r > 0 கொண்ட ஒரு திறந்த வட்டு ஆகும். அண்மைப் பகுதியிலிருந்து மையம் நீக்கப்பட்டால் அது துளையிடப்பட்ட அண்மைப்பகுதி ஆகும்.