இயற்கணித முற்றொருமைகள் (Algebraic Identies)

இயற்கணித முற்றொருமைகள் (Algebraic Identies)

ஒரு சமன்பாடு, அதிலுள்ள மாறிகளின் எம்மதிப்புக்கும் பொருந்துமாறு இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு ஒரு முற்றொருமை எனப்படும்.

பின்வரும் முற்றொருமைகளை நாம் முன்பே கற்றிருக்கின்றோம்.

(1) (a + b)2 ≡ a2 + 2ab + b2 

(2) (a − b)2 ≡ a2 − 2ab + b2 

(3) (a + b)(a − b) ≡ a2 − b2 

(4) (x + a)(x + b) ≡ x2 + (a + b)x + ab

குறிப்பு 

எடுத்துக்காட்டு 3.16

பின்வருவனவற்றை முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி விரித்தெழுதுக. 

(i) (3x + 4y)2 

(ii) (2a – 3b)2 

(iii) (5x + 4y) (5x – 4y) 

(iv) (m + 5)(m − 8) 

தீர்வு

(i) (3x + 4y)2

(3x + 4y)2 = (3x)2 + 2(3x) (4y) + (4y)2 [ஏனெனில், (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ] 

[a = 3x, b = 4y எனப் பிரதியிட]

= 9x2 + 24xy + 16y2 

(ii) (2a – 3b)2 

(2a – 3b)2 = (2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2        [ஏனெனில், (x − y)2 = x2 – 2xy + y2] 

[x = 2a, y = 3b எனப் பிரதியிட]

= 4a2 − 12ab + 9b2

(iii) (5x + 4y) (5x − 4y)

(5x + 4y)(5x − 4y) = (5x)2 − (4y)2        [ஏனெனில், (a + b)(a − b) = a2 –b2]

[a = 5x,  b = 4y எனப் பிரதியிட]

= 25x2 − 16y2 

(iv) (m + 5) (m − 8)

(m + 5) (m − 8) = m2 + (5 − 8)m − (5)(8)        [ஏனெனில், (x + a)(x − b) = x2 + (a − b)x − ab]

[ x = m, a = 5, b = 8 எனப் பிரதியிட]

= m2 – 3m − 40 

1. (a + b + c)2 என்ற மூவுறுப்புக் கோவையின் விரிவாக்கம் (Expansion of Trinomial)

 (x + y)2 = x2 + 2.xy + y2 என்பது நாம் அறிந்ததே.

 x = a + b, y = c எனப் பிரதியிட,

எனவே, (a + b + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)(c)+c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac +2bc + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca 

எனவே, (a + b + c)2 ≡ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

எடுத்துக்காட்டு 3.17

 (a − b + c)2 இன் விரிவு காண்க. 

தீர்வு

 (a + b+c)2 இன் விரிவில் ‘b’ ஐ ‘− b' எனப் பிரதியிட,

முற்றொருமை (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc +2ca இன் படி, 

(a + (−b) + c)2 = a2 +(−b)2 + c2 + 2a(−b) + 2(−b)c + 2ca 

= a2 + b2 + c2 − 2ab − 2bc +2ca

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

பின்வரும் முற்றொருமைகளை விரிவுபடுத்திச் சரிபார்க்க.

(a + b + c)2 = (−a−b− c)2

(−a + b + c)2 = (a − b−c)2

(a−b+c)2 = (−a + b − c)2

(a + b − c)2 = (− a − b + c)2

எடுத்துக்காட்டு 3.18

(2x + 3y + 4z)2 இன் விரிவு காண்க

தீர்வு

முற்றொருமையின்படி,

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

a = 2x, b = 3y மற்றும் c = 4z எனப் பிரதியிட,

(2x + 3y + 4z)2 = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)

 = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 24yz + 16xz 

எடுத்துக்காட்டு 3.19

 3m + 2n – 4l பக்க அளவு கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு காண்க.

தீர்வு

 a = 3m

 b = 2n 

 c = −4l

எனப் பிரதியிட,

சதுரத்தின் பரப்பளவு = பக்கம் × பக்கம் 

= (3m + 2n – 4l) × (3m + 2n – 4l)

= (3m + 2n – 4l)2

 (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca என்பது நாம் அறிந்ததே.

 [3m +2n + (−4l)]2 = (3m)2 + (2n)2 + (−4l)2 +2(3m)(2n) + 2(2n)(−4l) +2(−4l)(3m)

 = 9m2 + 4n2 + 16l2 + 12mn − 16ln – 24lm 

எனவே, சதுரத்தின் பரப்பளவு

 = [9m2 + 4n2 + 16l2 + 12mn – 16ln – 24lm] சதுர அலகுகள் 

2. மூன்று ஈருறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கற்பலனை உள்ளடக்கிய முற்றொருமைகள் (Identities involving Product of Three Binomials) 

(x + a) (x + b) (x + c) = [(x+a) (x + b)] (x + c)

= [x2 + (a + b)x + ab] (x + c) 

= x2(x) + (a + b)(x)(x) + abx + x2c + (a + b)(x)c + abc 

= x3 + ax2 + bx2 + abx + cx2 + acx + bcx + abc 

= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

எனவே,

  (x + a)(x + b)(x + c) ≡ x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

எடுத்துக்காட்டு 3.20

கீழ்க்காண்பனவற்றை விரித்தெழுதுக. 

(i) (x +5)(x + 6) (x +4)

(ii) (3x – 1)(3x+ 2) (3x − 4) 

தீர்வு

முற்றொருமை (x + a)(x + b)(x + c) ≡ x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc           ... (1)

(i) (x + 5)(x + 6)(x +4) 

a = 5

b = 6

c = 4

என (1)ல் பிரதியிட,

 = x3 + (5+6+ 4)x2 + (30 +24 + 20)x + (5)(6)(4)

= x3 + 15x2 + 74x + 120

(ii) (3x − 1)(3x + 2)(3x − 4)

x => 3x, a => −1, b => 2, c=> −4 என (1)ல் பிரதியிட,

= (3x)3 + (−1+2– 4) (3x)2 + (−2 − 8 + 4)(3x) + (−1)(2)(−4) 

= 27x3 + (−3)9x2 + (−6)(3x) + 8

= 27x3 – 27x2 – 18x + 8

3. (x + y)3 மற்றும் (x − y)3 −ன் விரிவாக்கம்

(x + a) (x + b)(x + c) ≡ x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

கீழ்க்காணும் முற்றொருமையில், a = b = c = y எனப் பிரதியிட, 

நாம் பெறுவது,

 (x + y) (x + y)(x + y) = x3 + (y + y + y)x2 + (yy + yy + yy)x + yyy

= x3 + (3y)x2 + (3y2)x + y3 

எனவே, (x + y)3 ≡ x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 

அல்லது (x + y)3 ≡ x3 + y3 + 3xy(x + y)

 y−க்கு −y, எனப் பிரதியிட, 

 (x − y)3 ≡ x3 − 3x2y + 3.xy2 − y3 அல்லது

 (x − y)3 ≡ x3 − y3 – 3xy(x − y)

எடுத்துக்காட்டு 3.21

 (5a – 3b)3 ஐ விரித்தெழுதுக.

தீர்வு

 (x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 – y3 என்பது நாம் அறிந்தது.

(5a – 3b)3 = (5a)3 – 3(5a)2(3b) + 3(5a)(3b)2 − (3b)3

= 125a3 − 3(25a2) (3b) + 3(5a) (9b2) − (3b)3

= 125a3 – 225a2b + 135ab2 – 27b3 

  x3 + y3 + z3 − 3xyz ≡ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz – zx)

மேற்கண்ட முற்றொருமையை வலப்புறமுள்ள கோவைகளைப் பெருக்கிச் சரிபார்க்கலாம்.

குறிப்பு:

• (x + y + z) = 0 எனில், x3 + y3 + 23 = 3.xyz ஆகும்.

• கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் போன்றவற்றைச் சில முற்றொருமைகளில் பயன்படுத்துதல் (நிரூபணமின்றி). 

(i) x3 + y3 ≡ (x + y) 3 – 3xy(x + y) 

(ii) x3 – y3 ≡ (x − y) 3 + 3xy(x − y) 

எடுத்துக்காட்டு 3.22

 (2x + 3y + 4z) (4x2 + 9y2 + 16z2 – 6.xy – 12yz – 8zx) இன் பெருக்கற்பலனைக் காண்க. 

தீர்வு

  (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc – ca) = a3 + b3 + c3 −3abc என்பது நாம் அறிந்ததே! 

 (2x +3y + 4z) (4x2 + 9y2 +16z2 − 6xy – 12yz – 8zx)

= (2x)3 + (3y)3 + (4z)3 – 3(2x) (3y)(4z)

= 8x3 + 27y3 +64z3 – 72xyz

எடுத்துக்காட்டு 3.23

முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி 103 − 153 + 53 இன் மதிப்பு காண்க. 

தீர்வு

முற்றொருமையின்படி, a + b + c = 0, எனில் a3 + b3 + c3 = 3abc

a = 10, b = −15, c = 5 எனப் பிரதியிட

இங்கு , a + b+ c = 10 −15 + 5 = 0 

103 + (−15)3 + 53 = 3(10)(−15)(5) 

103−153 +53 = − 2250