இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் (Angle between two curves)

இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் (Angle between two curves) 

வரையறை 7.3

இரண்டு வளைவரைகள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணமே, வெட்டும் புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைக்கு இடைப்பட்ட கோணமாக வரையறுக்கப்படுகின்றது.

இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தினை, வளைவரைகள் வெட்டும் புள்ளியிடத்து வரையப்படும் தொடுகோடுகளின் சாய்வுகளின் மதிப்புகளைக் கொண்டு காணலாம். y = m1x+c1 மற்றும் y = m2x+c2 ஆகிய இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணம்θ எனில்,

tan θ = |m1 – m2 / 1 + m1m2| ----------(3)

இங்கு m1 மற்றும் m2 ஆகியவை முடிவுற்ற எண்கள்.

குறிப்புரை

(i) (x1,y1) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகள் இணை எனில், m1 = m2, 

(ii) (x1,y1) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகள் செங்குத்து மற்றும் m1,m2 ஆகியவை காணத்தக்கவை மற்றும் முடிவுற்ற எண்கள் எனில் m1m2 = -1. 

எடுத்துக்காட்டு 7.14

y = x2 மற்றும் y = (x-3)2 என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க. 

தீர்வு

இப்பொழுது நாம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்போம். சமப்படுத்த x2 = (x-3) 2 ⇒ x = 3/2 எனப்பெறலாம். எனவே, வெட்டும் புள்ளி (3/2, 9/4) ஆகும். θ என்பது இவ்விரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் என்க. வெட்டும் புள்ளியிடத்து வளைவரையின் சாய்வுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன:

y = x2 என்ற வளைவரைக்கு, 

எடுத்துக்காட்டு 7.15

y = x2 மற்றும் x = y2 என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தினை (0, 0) மற்றும் (1,1) என்ற வெட்டும் புள்ளிகளில் காண்க. 

தீர்வு

இப்பொழுது நாம் வளைவரைகளின் சாய்வுகளைக் காண்போம். y = x2 என்ற வளைவரையின் சாய்வு m1 என்க.

m1 = dy/dx = 2x.

x = y2என்ற வளைவரையின் சாய்வு m2 என்க.

m2 = dy/dx = 1/2y.

 (0,0) மற்றும் (1,1) என்ற புள்ளிகளிடத்து வளைவரைகளுக்கிடைப்பட்ட கோணங்கள்θ1, மற்றும் θ2, என்க.

(0,0) என்ற புள்ளியில், tan θ1 =   -ஐ கணக்கிடும்போது பகுதியில் 0 × ∞ என்ற தேரப்பெறாத வடிவத்தைப் பெறுகிறோம். எனவே, நாம் எல்லை காணும் முறையை பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 7.16

y = sin x என்ற வளைவரைக்கும் மிகை x - அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க. 

தீர்வு

y = sin x என்ற வளைவரை மிகை x -அச்சை வெட்டும்போது y = 0 ⇒ x = nπ, n =1,2,3,....

இப்பொழுது, dy/dx = cos x. x = nπ -ல் சாய்வு m1 = cos (nπ) = (-1)n, x - அச்சின் சாய்வு m2 = 0 ஆகும்.

இவைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ எனில்,

⇒ θ = π/4

எடுத்துக்காட்டு 7.17

ax2 + by2 = 1 மற்றும் cx2 + dy2 = 1 என்ற வளைவரைகள் ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக வெட்டிக்கொண்டால் 1/a- 1/b =1/c- 1/d என நிறுவுக.

தீர்வு

(x0,y0) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் வெட்டிக் கொண்டால் (a-c) x02 + (b-d) y02 = 0 எனப்பெறலாம்.

வெட்டும் புள்ளி (x0,y0) என்ற புள்ளியில் வளைவரையின் சாய்வுகளைக் காண்போம்:

ax2 + by2 = 1 என்ற வளைவரைக்கு = dy/dx = ax/by மற்றும்

cx2 + dy2 = 1 என்ற வளைவரைக்கு dy/dx = - cx/dy.

(x0,y0) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொண்டால் சாய்வுகளின் பெருக்கல் பலன் -1 ஆகும். ஆகவே, (x0,y0) என்ற புள்ளியில் இரண்டு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொண்டால்

(- ax0 / by0) × (-cx0 / dy0) = -1

அதாவது, acx02 + bdy02 = 0, 

மேலும் (a-c) x02 + (b-d) y02 = 0

என்பதில் இருந்து, a-c / ac = b-d / bd எனப் பெறலாம். 

எனவே, 1/c – 1/a = 1/d – 1/b

அதாவது, 1/a – 1/b = 1/c – 1/d

குறிப்புரை

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில், அதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது 1/a – 1/b = 1/c – 1/d 

என்ற கட்டுப்பாட்டைக் கொண்டு, ஒருவர் எளிதில் வளைவரைகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் எனவும் நிறுவலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 7.18

x2 + 4y2 = 8 என்ற நீள்வட்டமும் x2 - 2y2 = 4 என்ற அதிபரவளையமும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் என நிறுவுக. 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட இரு வளைவரைகளும் வெட்டும் புள்ளியை (a,b) என்க.

ஆகவே, a2 + 4b2 = 8 மற்றும் a2 – 2b2 = 4 -------------(4)

நாம் (a,b) என்ற புள்ளியில் இவ்விரு வளைவரைகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் பலன் -1 என நிறுவ வேண்டும்.

x2 +4y2 = 8-ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட

2x + 8ydy/dx = 0 

எனவே, dy/dx = -x/4y,

(dy/dx) (a,b)  = m1 = - a/4b

x2 - 2y2 = 4-ஐ X-ஐப் பொருத்து வகையிட

2x -4y dy/dx  = 0. 

எனவே, dy/dx = x/2y,

(dy/dx) (a,b)  = m2 =  a/2b

எனவே, m1 × m2= (-a/ 4b) × (a/2b) = - a2/8b2------------- (5)

(4)-ல் விகிதச் சமக் கொள்கையை பயன்படுத்த,

(a2/-16-16) = ( b2 / -8+4 ) = (1/-2-4)  எனப்பெறலாம். 

எனவே, a2 / b2 = 32/4 = 8 ஆகும். இதனை (5)-ல் பிரதியிட, நாம் m1 × m2 = -1 எனப் பெறலாம். ஆகவே, இவ்விரு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும்.