ஒருங்கிசைவுத் தேற்றம்

ஒருங்கிசைவுத் தேற்றம் (Concurrency Theorems)

வரையறை

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு முனையிலிருந்து அதன் எதிர் பக்கத்திற்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டு சீவியன் (cevian) ஆகும். வரைபடத்தில் AD ஆனது ஒரு சீவியன்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

இத்தாலியைச் சேர்ந்த பொறியியலாளர் ஜியோவானி சீவா (Giovanni Ceva) என்பவரின் பெயரிலிருந்து சீவியன் (cevian) என்ற வார்த்தை பெறப்பட்டது. இவர் சீவியன்கள் பற்றிய தேற்றத்தை நிரூபித்தார்.

சிறப்பு சீவியன்கள்

(i) எதிர் பக்கத்தை இரு சர்வசம பகுதியாக (சமமாக) பிரிக்கும் நடுக்கோடானது (Median) ஒரு சீவியன் ஆகும்.

 (ii) எதிர்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் குத்துக்கோடானது (altitude) ஒரு சீவியன் ஆகும்.

 (iii) கோணத்தை இரு சமமாகப் பிரிக்கும் கோண இருசமவெட்டியானது ஒரு சீவியன் ஆகும் 

சீவாஸ் தேற்றம் (நிரூபணம் இல்லாமல்) (Ceva's Theorem (without proof)) 

கூற்று

ABC என்பது ஒரு முக்கோணம் என்க. பக்கங்கள் BC, CA மற்றும் A B-யில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே D, E மற்றும் F என்க. முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் ஒரே திசையைப் பொருத்து, A D, BE, CF என்ற சீவியன்கள் ஒருங்கிசைந்துள்ளது எனில்,  = 1 ஒவ்வொரு விகிதத்தினையும் தலைகீழியாக மாற்றினாலும் மேற்கூறியது உண்மையே. ஏனெனில் 1-யின் தலைகீழி ஒன்று ஆகும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஜியோவாணி சீவா (டிசம்பர் 7, 1647 – ஜுன் 15, 1734) (Giovanni Ceva)

1686 -இல் கணிதப் பேராசிரியராக மான்டுவா பல்கலைக்கழகத்தில் பணியில் சேர்ந்த சீவா தனது நிறைவு வாழ்நாள் வரை அங்கேயே பணிபுரிந்தார். 1678-ம் ஆண்டில் இவர் தொகுமுறை வடிவியலில், முக்கோணம் பற்றிய ஒரு முக்கியமானத் தேற்றத்தை வெளியிட்டார். அந்தத் தேற்றம் சீவாவின் தேற்றம்' என்று அழைக்கப்படுகிறது. 

1692 -ஆம் ஆண்டில் ஒபஸ்குலா மேத்தமைடிக்கா மற்றும் ஜியாமன்ட்ரியா மோட்டஸ் எனும் ஆய்விதழில் மீண்டும் கண்டறிந்து வெளியிட்டார். இயக்கவியல் மற்றும் நீர்மவியல் துறைகளில் சீவா தேற்றக் கருத்துகளைப் பயன்படுத்தினார்.

குறிப்பு 

பல சீவியன்கள் முக்கோணத்திற்கு உட்புறம் அமைந்தாலும், அனைத்து சீவியன்களும் முக்கோணத்திற்கு உள்ளேயே அமைய வேண்டிய அவசியமில்லை.

மெனிலாஸ் தேற்றம் (Menelaus Theorem (without proof)) 

கூற்று

ABC என்ற முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் BC, CA, AB (அல்லது அவற்றின் நீட்சி) -யில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே P, Q, R ஆகியன ஒரு கோடமைந்த புள்ளிகளாக அமையத் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை . இந்தச் சூத்திரத்தில் உள்ள கோட்டுத்துண்டுகள் அனைத்தும் திசை சார்ந்தவையாகும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

மெனிலாஸ் (Menelaus)

இவரது "ஸ்பெரிக்கா" எனும் புத்தகத்தில் முதன்முதலில் மெனிலாஸ் தேற்றத்தைப் பற்றி குறிப்பிட்டுள்ளார். இதைப் பிற்காலத்தில் டாலமி அவரது படைப்பான ஆல்மாகெஸ்ட் எனும் நூலில் குறிப்பிட்டுள்ளார். மெனிலாஸ் தேற்றம் கோள முக்கோணங்களால் கோளங்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன என நிரூபிக்கிறது.

குறிப்பு 

· BP × CQ ×AR = −PC × QA×RB எனவும், மெனிலாஸ் தேற்றத்தைக் குறிப்பிடலாம். 

· BP ஆனது PB-யாகவும், CQ ஆனது QC-யாகவும், AR ஆனது RA ஆகவும் மாற்றப்பட்டாலோ அல்லது BP, PC, CQ, QA, AR, RB என்ற ஒரு திசையில் அமைந்த ஆறு கோட்டுத்துண்டுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை பரிமாற்றம் செய்தாலோ மேற்கண்ட பெருக்கற்பலனின் மதிப்பு 1 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.32 

ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் எனக் காட்டுக. 

தீர்வு 

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு முனையிலிருந்தும் அதன் எதிர் பக்கத்தின் மையப்புள்ளிக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டு நடுக்கோடு எனப்படும். 

பக்கங்கள் BC, CA மற்றும் AB -யின் மையப்புள்ளிகள் முறையே D, E மற்றும் F-க்கு வரையப்படும் நடுக்கோடுகளானது சீவியன்களாகவும் இருக்கும்.

BC -ன் நடு புள்ளி D. எனவே, BD = DC அதாவது, BD/DC = 1            ………..(1)

CA-ன் நடு புள்ளி E. எனவே, CE = EA அதாவது, CE/EA = 1            ………..(2)

AB-ன் நடு புள்ளி F. எனவே, AF = FB அதாவது, AF/FB =1            ………..(3)

(1), (2) மற்றும் (3) – ஐ பெருக்க நாம் பெறுவது,

எனவே, சீவாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது. 

ஆகையால், நடுக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்கின்றன.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி நடுக்கோட்டு மையம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.33 

ΔABC :ல், D,E,F ஆகிய புள்ளிகள் முறையே BC, CA, AB மீது உள்ளது. AB, AC மற்றும் BC ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே 13, 14 மற்றும் 15 ஆகும். AF/FB = 2/5 மற்றும் CE/EA = 5/8 எனில், BD மற்றும் DC காண்க. 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்டது AB = 13, AC = 14 மற்றும் BC = 15.

BD = x மற்றும் DC = y என்க

சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி,

AF/FB மற்றும் CE/EA -யின் மதிப்புகளை (1)-யில் பிரதியிட,

BC = BD + DC = 15 எனவே, x + y = 15 ………(3)

x = 4y -ஐ (3) -யில் பிரதியிட, 

4y + y = 15 ⇒ 5y = 15 எனவே y = 3 

y = 3 -ஐ (3) -யில் பிரதியிட, x = 12. எனவே, BD = 12, DC = 3.

எடுத்துக்காட்டு 4.34 

பல மரங்களைக் கொண்ட ஒரு தோட்டத்தில் P, Q, R என்ற மூன்று மரங்கள் பின்வருமாறு அமைந்துள்ளன. ABC என்ற முக்கோணத்தில் BC - யின் மீது P-யும், AC-யின் மீது Q-வும், AB-யின் மீது R -ம் புள்ளிகளாக உள்ளன. மேலும் BP = 2 மீ, CQ = 3 மீ, RA = 10 மீ, PC = 6 மீ, QA = 5 மீ, RB = 2 மீ ஆகும். மரங்கள் P, Q, R ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமா எனச் சோதிக்கவும். 

தீர்வு 

மெனிலாஸ் தேற்றத்தின்படி P, Q, R என்ற மரங்கள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைய வேண்டுமெனில், ஆக அமைய வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்டது BP =2 மீ, CQ = 3 மீ, RA =10 மீ, PC = 6 மீ,

QA = 5 மீ மற்றும் RB = 2 மீ

மதிப்புகளை (1) -யில் பிரதியிட,

BP/PC × CQ/QA × RA/RB = 2/6 × 3/5 × 10/2 = 60/60 = 1

எனவே, மரங்கள் P, Q, R ஒரே நேர்கோட்டின் மீது அமைந்துள்ளன.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. நேர்கோடு, வட்டத்தினைத் தொட்டுச் செல்லும் பொதுவான புள்ளி ___________ என்று அழைக்கப்படுகிறது. 

2. _____________-யின் ஒரு பகுதி நாண் ஆகும்.

3. வட்டத்திற்கு _______ உள்ள புள்ளியிலிருந்து வரையப்படும் தொடுகோட்டின் நீளங்கள் சமம். 

4. வட்டத்தின் __________________ புள்ளியிலிருந்து எந்தத் தொடுகோடும் வரைய இயலாது. 

5. ____ என்ற சீவியன் (Cevian) முக்கோணத்தின் கோணங்களை இரு சமபகுதிகளாக பிரிக்கின்றன.