வட்ட நாற்கரங்கள் (Cyclic Quadrilaterals)

வட்ட நாற்கரங்கள் (Cyclic Quadrilaterals)

இங்கு வட்ட நாற்கரம் என்ற சிறப்பு நாற்கரத்தையும் அதன் பண்புகளையும் பற்றி அறிந்துகொள்ளலாம். நாற்கரத்தின் நான்கு முனைகளும் வட்டத்தின் பரிதியைத் தொட்டுக் கொண்டு இருக்குமேயானால் அந்த நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாகும். இப்பொழுது வட்ட நாற்கரத்தின் சிறப்புப் பண்புகளைக் காணலாம்.

அனைத்து முனைகளும் வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ளவாறு நாற்கரம் ABCDஐ எடுத்துக்கொள்க. நாம் இப்பொழுது எதிரெதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் என மெய்ப்பிக்க வேண்டியுள்ளது. ஒவ்வொரு முனையையும் வட்டமையம் O உடன் இணைக்கவும். OA, OB, OC மற்றும் OD என்பன ஆரங்கள் ஆகும். இவற்றிலிருந்து நான்கு இருசமபக்க முக்கோணங்கள் OAB, OBC, OCD மற்றும் ODA ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம். வட்டமையம் O வைச் சுற்றியுள்ள கோணங்களின் கூடுதல் 360°

ஒவ்வோர் இருசமபக்க முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் 180°. படத்திலிருந்து (படம் 4.77) நாம் பெறுவது,

 2 × (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) + மையம் O இல் அமையும் கோணம் = 4 × 180°

2 × (∠1+∠2+∠3+∠4) + 360° = 720°

இதைச் சுருக்க, (∠1+∠2+∠3+∠4) = 180°.

இதிலிருந்து நாம் காண்பது,

(i) (∠1+∠2) + ( ∠3+∠4) = 180° (எதிர்கோணங்கள் B மற்றும் D இன் கூடுதல்)

(ii) ( ∠1+∠4) + ( ∠2+ ∠3) = 180° (எதிர்கோணங்கள் A மற்றும் C இன் கூடுதல்)

இப்பொழுது முடிவுகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன :

தேற்றம் 12 வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் ஆகும்.

தேற்றம் 12இன் மறுதலையும் கணக்குகளைத் தீர்ப்பதில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதால் அதையும் காண்போம்.

தேற்றம் 12 இன் மறுதலை ஒரு நாற்கரத்தின் ஒரு சோடி எதிர்க்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் எனில் அந்த நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாகும்.

செயல்பாடு  − 7

வழிமுறை

9. O வை மையமாகக் கொண்டு ஏதேனும் ஓர் ஆரத்தில் வட்டம் வரைக..

10. புள்ளிகள் A, B, C மற்றும் D ஐ அதன் எல்லைகளில் குறித்து வட்ட நாற்கரம் ABCD ஐ வரைக. அதன் கோணங்களுக்குப் படம் 4.78இல் உள்ளது போல் பெயரிடுக.

11. படி எடுக்கும் காகிதத்தைப் பயன்படுத்தி வட்ட நாற்கரம் ABCD ஐப் படியெடுக்க.

12. படம் 4.79 இல் காட்டியுள்ளவாறு கோணங்கள் A, B, C மற்றும் D ஐ வெட்டி எடுக்க.

13. கோணங்கள் ∠1, ∠2, ∠3 மற்றும் ∠4 ஐக் கோணங்கள் A, B, C மற்றும் D இன் அடுத்துள்ள கோணங்களாக அமையும்படி படம் 4.80 இல் காட்டியுள்ளவாறு ஒட்டுக.

14. கோணங்கள் ∠1+ ∠3 மற்றும் ∠2 + ∠4 ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

உற்றுநோக்கிக் கீழ்க்காண்பனவற்றை நிரப்புக:

1. (i) ∠A + ∠C = _____

(ii) ∠B+ ∠D =  _______

(iii) ∠C + ∠A = _____

(iv) ∠D + ∠B =   _______

2. வட்ட நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்க் கோணங்களின் கூடுதல்   _______.

3. ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள் ____.

எடுத்துக்காட்டு 4.10

வட்ட நாற்கரம் PQRS இல் ∠PSR = 70° மற்றும் ∠QPR = 40° எனில், ∠PRQ ஐக் காண்க (படம் 4.81 ஐப் பார்க்க).

தீர்வு

வட்ட நாற்கரம் PQRS இல் ∠PSR = 70° கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

∠PSR + ∠PQR = 180° (காரணம் கூறுக …….)

70° + ∠PQR = 180°

∠PQR = 180°  − 70°

∠PQR = 110°

 ∆PQR இல் நாம் பெறுவது,

 ∠PQR + ∠PRQ+ ∠QPR = 180° (காரணம் கூறுக………)

 110° + ∠PRQ + 40° = 180°

∠PRQ = 180°  − 150°

∠PRQ = 30°

ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் வெளிக்கோணம் (Exterior Angle of a Cyclic Quadrilateral)

ஒரு நாற்கரத்தின் வெளிக்கோணம் என்பது அதன் ஏதாவது ஒரு பக்கமும், அதனை அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீட்சியும் வெளியே உருவாக்கும் கோணம் ஆகும்.

வட்ட நாற்கரம் ABCD இன் பக்கம் AB ஐ E வரை நீட்டுக. இங்கு, ∠ABC மற்றும் ∠CBE ஆகியன நேரிய கோணச் சோடிகள் ஆகும். இவற்றின் கூடுதல் 180° ஆகும். மேலும், ∠ABC மற்றும் ∠ADC ஆகியன வட்ட நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள், இவற்றின் கூடுதலும் 180° ஆகும். இவற்றில் இருந்து நாம் பெறுவது, ∠ABC + ∠CBE = ∠ABC + ∠ADC ஆகவே ∠CBE = ∠ADC . இதேபோல் மற்ற கோணங்களுக்கும் நிறுவலாம்.

தேற்றம் 13 வட்ட நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கத்தை நீட்டிப்பதால் ஏற்படும் வெளிக்கோணம் உள்ளெதிர்க் கோணத்திற்குச் சமம்.

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

1. ஒரு நாற்கரத்தின் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்கள் மிகை நிரப்பிகள் எனில் அந்த நாற்கரம் ……….. ஆகும்.

2. நாணின் நீளம் குறையும்பொழுது, மையத்திலிருந்து உள்ள தூரம்  ………..

3. வட்ட நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கம் நீட்டப்பட்டால் உண்டாகும் வெளிக் கோணமானது உள்ளெதிர் கோணத்திற்கு ………..

4. வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்க் கோணங்கள் ………..

எடுத்துக்காட்டு 4.11

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் கோணங்கள் x° மற்றும் y° இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

வட்ட நாற்கரத்தின் வெளிக் கோணங்களின் பண்பின்படி,

நாம் பெறுவது, y° =100° மேலும்,

x° + 30° = 60° ஆகையால், x° = 30°