டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan's Laws)

டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan's Laws)

அகஸ்டஸ் டி மார்கன் (1806−1871) ஓர் ஆங்கிலேயக் கணிதமேதை. அவர் 1806 இல் இந்தியத் திருநாட்டில் தமிழகத்தில் உள்ள மதுரையில் சூன் மாதம் 27 ஆம் நாள் பிறந்தார். அப்போது அவருடைய தந்தையார் கிழக்கிந்தியக் கம்பெனியால் இந்தியாவில் பணியமர்த்தப்பட்டிருந்தார். டி மார்கன் ஏழு மாதக் குழந்தையாய் இருந்தபோது, அவரது குடும்பமானது இங்கிலாந்திற்குத் திரும்பியது. அவர் இலண்டன் கேம்பிரிட்ஜ் (Cambridge) நகரில் உள்ள டிரினிட்டி (Trinity) கல்லூரியில் கல்வி பயின்றார். அவர் கண வித்தியாசம் மற்றும் கண நிரப்பிக்கான சில விதிகளை உருவாக்கினார். இந்த விதிகள் டி மார்கன் விதிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

1. கணவித்தியாசத்திற்கான டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan's Laws for Set Difference)

இந்த விதிகள் கணச் செயல்களான சேர்ப்பு, வெட்டு மற்றும் கண வித்தியாசத்தைத் தொடர்புபடுத்துகிறது.

A = {−5,−2,1,3}, B = {−3,−2,0, 3,5} மற்றும் C = {−2,−1,0,4,5} என்ற மூன்று கணங்களைக் கருதுவோம்.

இப்பொழுது, B∪C = {−3,−2,−1,0,3,4,5}

A − (B∪C) = {−5,1}         ... (1)

மேலும், A − B = {−5,1} மற்றும் A − C = {−5,1,3}

(A − B) ∪ (A − C) = {−5,1,3} ..... (2)

(A − B) ∩ (A−C) = {−5,1}       ... (3)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து,

A − (B∪C) ≠ (A − B) ∪ (A – C) என நாம் காண்கிறோம்.

ஆனால் (1) மற்றும் (3) இலிருந்து,

A − (B∪C) = (A − B) ∩ (A − C) என்பதை நம்மால் காண முடிகிறது.

இப்பொழுது, B∩C = {−2,0,5}

A − (B∩C) ={−5,1,3} ... (4)

 (3) மற்றும் (4) இலிருந்து,

A − (B∩C) ≠ (A − B) ∩ (A – C) என நாம் காண்கிறோம்.

ஆனால் (2) மற்றும் (4) இலிருந்து, A − (B∩C) = (A − B) ∪ (A − C) எனப் பெறுகிறோம்.

சிந்தனைக் களம்: (A − B) ∪ (A − C) ∪ (A∩B) = _____

கண வித்தியாசத்திற்கான டி மார்கன் விதிகள்

A, B மற்றும் C என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில்,

(i) A − (B∪C) = (A − B) ∩ (A − C)

(ii) A − (B∩C) = (A − B) ∪ (A − C)

எடுத்துக்காட்டு 1.23

வென்படங்களைப் பயன்படுத்தி A − (B∪C) = (A − B) ∩ (A − C) என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

 (1) மற்றும் (2) இலிருந்து, A − (B∪C) = (A − B) ∩ (A – C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.24

P={x: x ∈ W மற்றும் 0 < x< 10}, Q={x : x= 2n+1, n ∈ W மற்றும் n<5} மற்றும் R = {2,3,5,7,11,13} எனில், P − (Q∩R) = (P − Q) ∪ (P − R) என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

கணங்கள் P, Q மற்றும் R ஐப் பட்டியல் முறையில் எழுதுவோம்.

P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, Q = {1,3,5,7,9}

கணம் Q−ன் உறுப்புகளைக் கண்டறிதல்

கொடுக்கப்பட்டது, x = 2n + 1

n = 0 → x = 2(0) +1=0+1=1

n = 1 → x = 2(1) +1 = 2+1= 3

n = 2 → x = 2(2) +1 = 4+1= 5

n = 3 → x = 2(3) + 1 = 6 +1=7

n = 4 → x = 2(4) +1 = 8+1= 9

இதிலிருந்து x−ன் மதிப்பானது 1, 3, 5, 7 மற்றும் 9 ஆகும்.

மற்றும் R = {2,3,5,7,11,13}

முதலில், (Q ∩ R) = {3,5,7}

P−(Q ∩ R) = {1,2,4,6,8,9}           ... (1)

அடுத்து, P−Q = {2,4,6,8} மற்றும்

P−R = {1,4,6, 8,9}

ஆகவே, (P−Q) ∪ (P− R) = {1,2,4,6,8,9}           ... (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, P – (Q∩R) = (P − Q) ∪ (P − R) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

2. கண நிரப்பிக்கான டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan's Laws for Complementation)

இந்த விதிகள் கணச் செயல்களான சேர்ப்பு மற்றும் வெட்டு ஆகியவற்றைக் கணநிரப்பியோடு தொடர்புபடுத்துகிறது.

அனைத்துக் கணம் U={0,1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5} மற்றும் B={0,3,4,5} ஆகியவற்றைக் கருதுவோம்.

சிந்தனைக் களம்: A − B = A∩B' என்பது சரியா?

இப்பொழுது, A∪B = {0,1, 3, 4,5}

(A∪ B)’  = {2,6}  ..... (1)

அடுத்து, A' = {0,2,4,6} and B' = {1,2,6}

A'∩B' = {2,6}      .....(2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, (A ∪ B)' = A'∩ B' என நாம் பெறுகிறோம்.

மேலும், A∩B = {3,5}

சிந்தனைக் களம்: (A − B) ∪ (B – A')=_____

(A∩B)'  = {0,1,2,4,6}  ...... (3)

A' = {0,2,4,6} மற்றும் B' = {1,2,6}

A'∪B' = {0,1,2,4,6}  ...... (4)

(3) மற்றும் (4) இலிருந்து, (A ∩ B) ' = A'∪B' என நாம் பெறுகிறோம்.

கண நிரப்பிக்கான டி மார்கன் விதிகள்: U என்பது அனைத்துக் கணம். A, B என்பன அதனுள் அமைந்த முடிவுறு கணங்கள் எனில், (i) (A∪B)' = A'∩B' (ii) (A∩B) ' = A'∪B'

எடுத்துக்காட்டு 1.25

வென்படங்களைப் பயன்படுத்திச் சரிபார் : (A ∪ B)' = A' ∩ B'

தீர்வு

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, (A∪ B)' = A'∩B' என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.26

U = {x:x ∈ Z, – 2 ≤ x ≤ 10}, A = {x : x = 2p + 1, p ∈ Z, −1≤p≤4}, B = {x: x = 3q + 1, q ∈ Z, −1≤ q<4} என்ற கணங்களுக்குக் கணநிரப்பிக்கான டி மார்கன் விதிகளைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை , U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

A = {−1, 1, 3, 5, 7, 9} மற்றும் B = {−2, 1, 4, 7, 10}

சிந்தனைக் களம்: A∩(A∪B)' = ____

(i) (A ∪ B) ' = A'∩B'

இப்பொழுது, A∪B = {−2,−1,1,3,4,5,7,9,10}

(A∪B) ' = {0,2,6,8} ..... (1)

பிறகு , A' = {−2,0,2,4,6,8,10} மற்றும் B' = {−1,0,2,3, 5, 6, 8,9}

A'∩B' = {0,2,6,8}   ...... (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, (A∪B) ' = A'∩B' என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

(ii) (A∩B)' = A'∪B'

சிந்தனைக் களம்: (A∪B)' ∪ (A'∩B) = __________

இப்பொழுது, A∩B = {1,7}

(A∩B)' = {−2, −1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} ...... (3)

மேலும்,

A'∪B' = {−2,−1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} ...... (4)

(3) மற்றும் (4) இலிருந்து, (A∩B)' = A'∪B' என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.