கணச் செயல்களின் பண்புகள் (Properties of Set Operations)

கணச் செயல்களின் பண்புகள் (Properties of Set Operations)

இப்பகுதி, கணச் செயல்களைத் (சேர்ப்பு, வெட்டு போன்ற) தொடர்ந்து பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு போன்ற கணிதப் பண்புகளை ஆர்வமுடன் ஆராய்கிறது. இந்தப் பண்புகளில் பலவற்றை நாம் எண்களில் பார்த்திருக்கிறோம். கணங்களும் இப்பண்புகளைப் பெற்றிருக்குமா என்பதை வெளிக்கொணர்வோம். முதலில் நாம் கணங்களின் சேர்ப்பு மற்றும் வெட்டு போன்ற கணச் செயல்களின் பண்புகளைக் கற்போம்.

1. பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative Property)

கணமொழியில் கணச் செயல்களைப் பயன்படுத்தும்போதே பரிமாற்றுப் பண்புகளை நாம் பார்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கணங்களில் சேர்ப்பு (மற்றும் வெட்டு) செயல் பரிமாற்றுப் பண்பு உடையதா என்பதைக் காணலாம்.

குறிப்பு:

எந்தவொரு கணம் A−க்கும்

• A∪A = A & A∩A = A (தன்னடுக்கு விதிகள்).

• A∪∅ = A & A∩U = A (சமனி விதிகள்).

A = {2,3,8,10} மற்றும் B = {1,3,10,13} என்பன இரு கணங்கள் என்க

இங்கு, A∪B = {1,2,3,8,10, 13} மற்றும்

B∪A={1,2,3, 8, 10, 13}

இதிலிருந்து, A∪B = B∪A என்பதை நம்மால் காண இயலுகிறது.

இதுவே கணங்களின் சேர்ப்புக்கான பரிமாற்றுப் பண்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

இப்பொழுது, A∩B = {3,10} மற்றும் B∩A = {3,10}.

இதிலிருந்து, A∩B = B∩A என்பதைப் பார்க்க முடிகிறது.

இதுவே, கணங்களின் வெட்டுக்கான பரிமாற்றுப் பண்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

பரிமாற்றுப் பண்பு: A மற்றும் B என்பன எவையேனும் இருகணங்கள் எனில்,

(i) A∪B=B∪A

(ii) A∩B=B∩A

சிந்தனைக் களம்:

P = {1, n, p} மற்றும் P∪Q = {j.1,m,n,o,p} கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. P மற்றும் Q என்பன வெட்டாக் கணங்கள் எனில், Q மற்றும் P∩Q என்னவாக இருக்க முடியும்?

எடுத்துக்காட்டு 1.19

A = {b,e, f,g} மற்றும் B = {c,e,g,h} எனில், (i) கணங்களின் சேர்ப்பு (ii) கணங்களின் வெட்டுக்கான பரிமாற்றுப் பண்புகளைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை,

A = {b,e, f,g} மற்றும் B = {c,e,g,h}

(i) A∪B = {b,c, e,f,g,h}  ... (1)

B∪A = {b,c,e, f,g,h} ... (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, A∪B = B∪A.

கணங்களின் சேர்ப்பு, பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

(ii) A∩B = {e,g} ... (3)

B∩A = {e,g} | ... (4)

(3) மற்றும் (4) இலிருந்து, A∩B = B∩A

கணங்களின் வெட்டு, பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

குறிப்பு

எண்களில் கழித்தல் செயலானது பரிமாற்றுப் பண்பு உடையதல்ல என்பதை நினைவு கூர்வோம். கண வித்தியாசம் பரிமாற்றுப்பண்பு உடையதா? எண்களைப் போலவே, கண வித்தியாசமும் பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது அல்ல எனக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, A = {a,b,c}, B = {b,c,d} எனில், A − B = {a}, B − A = {d}; இவற்றிலிருந்து A − B ≠ B – A என்பதை நம்மால் காண முடிகிறது.

2. சேர்ப்புப் பண்பு (Associative Property)

இப்பொழுது நாம் சேர்ப்பு மற்றும் வெட்டுச் செயல்களை மூன்று கணங்களைக் கொண்டு செய்து பார்ப்போம்.

A = {−1,0,1,2}, B = {−3, 0,2,3} மற்றும் C = {0,1, 3,4} என்பன மூன்று கணங்கள் என்க.

இப்பொழுது, B∪C = {−3, 0,1,2,3,4}

A∪ (B∪C) = {−1, 0,1,2}∪{−3, 0,1,2,3,4}

= {−3,−1, 0,1,2,3,4} ... (1)

பிறகு, A∪B = {−3,−1, 0,1,2,3}

(A∪B) ∪C = {−3,−1, 0,1,2,3}∪{0,1,3,4}

= {−3,−1,0,1,2,3,4}   ….. (2)

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C.

இது கணங்களின் சேர்ப்புக்கான சேர்ப்புப் பண்பு ஆகும்.

இப்பொழுது, B∩C = {0,3}

A∩(B∩C) = {−1,0,1,2}∩{0,3}

= {0}              ... (3)

பிறகு , A∩B = {0,2}

(A∩B) ∩C = {0,2}∩{0,1, 3,4}

= {0}                … (4)

(3) மற்றும் (4) இலிருந்து, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C.

இது கணங்களின் வெட்டுக்கான சேர்ப்புப் பண்பு ஆகும்.

சேர்ப்புப் பண்பு: A, B மற்றும் C என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில், (i) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (ii) A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C

எடுத்துக்காட்டு 1.20

மற்றும் எனில், A∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு

இப்பொழுது, (B∩C) = { 1/4, 2,5/2}

A∩(B∩C) = {1/4,2}       ……. (1)

மேலும், A∩B = {0,1/4,3/4,2}

 (A∩B) ∩C = {1/4, 2}      ………. (2)

 (1) மற்றும் (2), இலிருந்து,

(A∩B) ∩C = A∩(B∩C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

குறிப்பு:

பொதுவாக, கண வித்தியாசமானது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது. அதாவது, (A − B) − C ≠ A − (B − C) ஆனால், A, B மற்றும் C என்பன ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாக் கணங்கள் எனில், கணவித்தியாசமானது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும். அதாவது, (A − B) − C = A − (B − C) என்ப து மெய்யாகும்.