கணம் (Set)

கணம் (Set)

நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு கணம் எனப்படும்.

இங்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு என்பது கொடுக்கப்பட்ட பொருள், கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உறுப்பாக உள்ளதா? இல்லையா? என்பதைப் பொருத்து அமைகிறது. கணத்தில் உள்ள பொருள்கள் அதன் உறுப்புகள் எனப்படும்.

சான்றாக,

1. மாவட்ட மைய நூலகத்தில் உள்ள நூல்களின் தொகுப்பு.

2. ஒரு வானவில்லில் உள்ள வண்ணங்களின் தொகுப்பு.

3. பகா எண்களின் தொகுப்பு.

அருகில் உள்ள கட்டத்தில் (1), (2) மற்றும் (4) என்பன நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக அமைவதால் அவை கணங்களாகும்.

பின்வருவனவற்றுள் எவை கணங்கள் ஆகும்?

(1) இயல் எண்களின் தொகுப்பு.

(2) ஆங்கில எழுத்துகளின் தொகுப்பு.

(3) ஒரு வகுப்பில் உள்ள நல்ல மாணவர்களின் தொகுப்பு.

(4) நம் நாட்டிலுள்ள மாநிலங்களின் தொகுப்பு.

(5) ஒரு தோட்டத்தில் உள்ள அழகிய மலர்களின் தொகுப்பு.

ஆனால், 'நல்ல' மற்றும் 'அழகான' போன்றவற்றை நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக ஏற்பது கடினமாதலால் (3) மற்றும் (5) என்பன நன்கு வரையறுக்கப்படாதவைகளாகும். ஒரு மாணவன் நல்ல மாணவன் என நான் கருதினால் நீங்களும் அவ்வாறு கருதவேண்டிய அவசியமில்லை. மல்லிகையை அழகான மலர் என நான் கருதினால் நீங்களும் அவ்வாறு எண்ணுவீர்களா! எனவே ஐயத்திற்குச் சற்றும் இடமின்றி அமையும் தொகுப்புகளையே நாம் கணங்களாகக் கருத இயலும்.

எனவே கேள்வி எண் (3) மற்றும் (5) ஆகியன கணங்கள் அன்று.

குறிப்பு

• ஒரு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் ஒரே ஒரு முறை மட்டுமே பட்டியலிடப்பட வேண்டும்.

• ஒரு கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் வெவ்வேறு வகையில் வரிசைப்படுத்தப் பட்டு பட்டியலிடப்பட்டாலும் கணம் மாறாது.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த இரு நிபந்தனைகளும் இயல்பானவையே. 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8... என்ற தொகுப்பும் 1, 3, 2, 4, 5, 7, 6, 8 .... என்ற தொகுப்பும் வெவ்வேறு முறையில் வரிசைப்படுத்தப் பட்டாலும் இரு தொகுப்புகளும் ஒன்றே. கணத்தில் ஒரு பொருள் உறுப்பாக உள்ளதா? இல்லையா? என்பதனை மட்டுமே நாம் அறிய வேண்டியுள்ளதால் அந்த உறுப்பினைப் பட்டியலின் பல இடங்களில் பட்டியலிட வேண்டியதில்லை .

செயல்பாடு−1

உன் அன்றாட வாழ்வில் கணங்களாக இருக்கக்கூடிய மற்றும் கணங்கள் அல்லாத தொகுப்பினை விவாதித்துப் பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருக.

குறியீடுகள்

• பொதுவாக, ஒரு கணமானது A, B, P, Q, X, Y, போன்ற ஆங்கில பெரிய எழுத்துகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது.

• ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை, "{ }” என்ற கண அடைப்பு அல்லது வில் அடைப்பிற்குள் எழுத வேண்டும்.

• x என்பது கணம் A இன் உறுப்பு என்பதை x ∈ A என எழுதுவோம். (x என்பது A இன் ஓர் உறுப்பு).

• x என்பது கணம் A இன் உறுப்பு அல்ல என்பதை x ∉ A என எழுதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டாக,

A = {2,3,5,7} என்ற கணத்தைக் கருதுக.

A இன் ஓர் உறுப்பான 2 என்பதனை 2∈A என எழுதலாம்.

A இன் ஓர் உறுப்பான 5 என்பதனை 5∈A என எழுதலாம்.

A இன் ஓர் உறுப்பில்லாத 6 என்பதனை 6 ∉ A என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.1

A = {அஸ்வின், முரளிவிஜய், விஜய்சங்கர், பத்ரிநாத்}.

கோடிட்ட இடங்களை ∈ அல்லது ∉ என்ற பொருத்தமான குறியிட்டு நிரப்புக.

(i) முரளிவிஜய் _______ A.

(ii) அஸ்வின் ________ A.

(iii) பத்ரிநாத் _________ A

(iv) கங்குலி ________ A.

(v) டெண்டுல்கர் _______ A.

தீர்வு

(i) முரளிவிஜய் ∈ A.

(ii) அஸ்வின் ∈ A.

(iii) பத்ரிநாத் ∈ A.

(iv) கங்குலி ∉ A. 

(v) டெண்டுல்கர் ∉ A.