பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகுத்தல் (Division of Polynomials)

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகுத்தல் (Division of Polynomials)

 13 மற்றும் 5 என்ற இரு எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். 13 ஐ 5 ஆல் வகுக்கும் போது ஈவு மற்றும் மீதி என்ன?

ஈவு 2 மற்றும் மீதி 3. இதையே 13 என்பதை (5 × 2) + 3 என எழுதலாம். 

தற்போது முயன்று பார்ப்போம்.

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, மீதியானது வகுத்தியை விடக் குறைவானது என்பது தெளிவாகிறது. மீதி பூச்சியமெனில் வகுப்படும் எண்ணானது வகுத்தியின் மடங்காகும் எனக் கூற இயலும்.

 வகுபடும் எண் = ( வகுத்தி × ஈவு ) + மீதி. 

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையை மற்றொரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுக்க இயலுமா? 

இயலும் வழக்கமான எண் வகுத்தலைப் போல வகுக்கலாம். 

பல்லுறுப்புக் கோவை வகுத்தலை ஓருறுப்புக் கோவை வகுத்தலிலிருந்து தொடங்குவோம்.

1. பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கான வகுத்தல் விதியின் வடிவம் (Division Algorithm for Polynomials)

பொதுவாக, p(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளில் p(x) இன் படி ≥ g(x) இன் படி மற்றும் g(x) ≠ 0 எனில், q(x) மற்றும் r(x) என்ற இரு தனித்த பல்லுறுப்புக் கோவைகள்

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)             ... (1)

என்ற வடிவத்தில் கிடைக்கும். 

இங்கு r(x) = 0 அல்லது r(x) இன் படி < g(x) இன் படி.

பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) என்பது வகுபடும் எண், g(x) என்பது வகுத்தி, q(x) என்பது ஈவு r(x) என்பது மீதி. எனவே, சமன்பாடு (1) யைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

வகுபடும் கோவை = (வகுக்கும் கோவை × ஈவு ) + மீதி.

 r(x) பூச்சியம் எனில், p(x) என்பது g(x) இன் மடங்கு. அதாவது g(x) என்பது p(x) ஐ வகுக்கும்.

இது சற்றுக் கடினமாகத் தோன்றினால் கவலை வேண்டாம், பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வகுப்பது எப்படி என்று தெரிந்துகொண்டு பயிற்சி செய்தால் எளிதாகும். இதற்குக் கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.32

 x3 – 4x2 + 6x ஐ x ஆல் வகுக்க. இங்கு x ≠ 0 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்டவை 

= x2 – 4x + 6 

எடுத்துக்காட்டு 3.33

 (5x2 – 7x + 2) ÷ (x – 1) இன் ஈவு மற்றும் மீதியைக் காண்க.

தீர்வு

(5x2 – 7x + 2) ÷ (x – 1)

ஃஈவு = 5x−2

மீதி = 0

எடுத்துக்காட்டு 3.34

 f(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை g(x) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு மற்றும் மீதியைக் காண்க.

 (i) f(x) = (8x3−6x2+15x−7), g(x) = 2x+1.

(ii) f(x) = x4−3x3 + 5x2 −7, g(x) = x2 + x + 1

தீர்வு

(i) f(x) = (8x3−6x2+15x−7), g(x) = 2x+1.

ஃ ஈவு = 4x2 − 5x + 10 , மீதி = −17 

(ii) f(x) = x4−3x3 + 5x2 −7, g(x) = x2 + x + 1

ஃ ஈவு = x2 − 4x + 8, மீதி = −4x − 15 

2. தொகுமுறை வகுத்தல் (Synthetic Division)

பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வகுப்பதற்குத் தொகுமுறை வகுத்தல் என்பது ஒரு சுருக்கமான முறையாகும். இதில் மாறிகளைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பதால் அது கணக்கீட்டிற்கு எளிமையாகவும், நீள்வகுத்தலை விடக் குறைவான இடத்தையும் எடுத்துக்கொள்கிறது. இதுவே இதன் முக்கியப் பயனாகும். 

எடுத்துக்காட்டு 3.35

p(x) = (3x3 – 2x2 – 5 + 7x) ஐ d(x) = x + 3 ஆல் வகுத்து ஈவு q(x) மற்றும் மீதி காண்க. 

தீர்வு

படி 1: வகுபடும் கோவை மற்றும் வகுக்கும் கோவை இரண்டையும் திட்ட வடிவிற்கு மாற்றுக.

3x3 – 2x2 +7x − 5 (திட்ட வடிவம்)

 x + 3 (திட்ட வடிவம்)

வகுபடும் கோவையின் கெழுக்களை முதல் வரிசையில் எழுதவும். விடுபட்ட (இல்லாத) உறுப்பின் கெழுவுக்கு ‘0' எனப் பிரதியிட,

 3  −2  7  −5 

படி 2: வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தைக் காண்க.

x + 3 = 0 எனவே x = −3

படி 3: வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தை முதல் வரிசைக்கு முன்னால் எழுதுக. இரண்டாம் வரிசையில் பூச்சியத்தை முதல் உறுப்புக்குக் கீழே எழுதுக.

படி 4: இரண்டாம், மூன்றாம் வரிசையைக் கீழ்க்காணுமாறு பூர்த்தி செய்க.

மூன்றாவது வரிசையில் உள்ள கடைசி உறுப்பைத் தவிர ஏனைய உறுப்புகள் அனைத்தும் ஈவின் கெழுக்களாகும்.

ஈவு 3x2 – 11x + 40 மற்றும் மீதி −125.

எடுத்துக்காட்டு 3.36

 தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி (3x3 – 4x2 − 5) ஐ (3x+1) ஆல் வகுத்து ஈவு, மீதி காண்க.

தீர்வு

p(x) = 3x3 − 4x2 – 5, d(x) = (3x + 1) என்க.

3x+1 இன் பூச்சியம் காண,

3x + 1 = 0

3x = – 1

x = – 1/3

 திட்ட வடிவம் p(x) = 3x3 – 4x2 + 0x − 5 மற்றும் d(x) = 3x +1

எடுத்துக்காட்டு 3.37

 x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 29 ஐ (x + 4) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு x3 – ax2 + bx + 6, எனில், a, b இன் மதிப்பு மற்றும் மீதி ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு

x+4 இன் பூச்சியம் காண,

x + 4 = 0

x = – 4 

 p(x) = x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 29 என்க. 

திட்ட வடிவம் = x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 29

ஈவு  x3 + 6x2 +11x + 6 ஐ x3 – ax2 + bx + 6 உடன் ஒப்பிட,

 x2 இன் கெழு 6= −a 

x இன் கெழு 11 = b 

ஆகவே, a = −6, b = 11 மற்றும் மீதி = 5.