பல்லுறுப்புக்கோவையற்ற சமன்பாடுகள் (Non−polynomial Equations)

3. பல்லுறுப்புக்கோவையற்ற சமன்பாடுகள் (Non−polynomial Equations)

சில பல்லுறுப்புக்கோவையற்ற சமன்பாடுகளையும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் துணையோடு தீர்க்க இயலும். உதாரணமாக √[15 − 2x] = x என்ற சமன்பாட்டைக் கருதுவோம். முதற்கண் இது பல்லுறுப்புக்கோவை அன்று என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இருபக்கமும் வர்க்கம் காண x2 + 2x − 15 = 0 எனக் கிடைக்கும். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாம் அறிவோம். பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை ஆராய்ந்தால் 3 மற்றும் −5 ஆகியவை x2 + 2x – 15 = 0 −க்கு தீர்வுகளாக அமையும். √• மதிப்பிற்கு குறையற்ற மதிப்புகளை மட்டுமே ஒதுக்கீடு செய்வது என்பதை கருத்தில் கொண்டால் x = 3 என்பது மட்டுமே மூலமாகும். அத்தகைய ஒதுக்கீடு இல்லையெனில் x = −5 என்பதும் தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.29

2 cos2 x − 9 cos x + 4 = 0. ... (1)

எனும் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வு இருப்பின் காண்க.

தீர்வு

சமன்பாட்டின் இடப்பக்கம் இருப்பது பல்லுறுப்புக்கோவை அல்ல. ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவை போல் தோற்றமளிக்கிறது. உண்மையில், இதனை cos.x−ல் இருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனலாம். எனினும் (1) −ல் உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி நாம் அறிந்தவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். cos.x−ஐ y எனப் பிரதியிட 2y2 − 9y + 4 = 0 எனும் பல்லுறுப்பு கோவைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. 4 மற்றும் 1/2 ஆகியவை இதன் தீர்வுகளாகும்.

இதிலிருந்து cos x = 4 அல்லது cos x = 1/2 −க்கு ஏற்றதாக x அமையவேண்டும். ஆனால் cos x = 4 என்பது சாத்தியமில்லாதது. cos x = 1/2 −எனும்போது எண்ணற்ற பல மெய்யெண் மதிப்புள்ள x அமைகின்றது. உண்மையில் அனைத்து n ∈ ℤ −க்கும் x = 2nπ ± π/3 = என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (1) க்கு தீர்வாகும்.

cos2x − 9cosx + 20 = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு இதே வழிமுறைகளை கடைபிடித்தால் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வே இல்லை என்பது புலனாகிறது.

குறிப்புரை

• வருவிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக ஆகாது.

• பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளைப் போல தோற்றமளித்தாலும் பல்லுறுப்புக் கோவையற்ற சமன்பாடுகளுக்கு எண்ணற்றத் தீர்வுகள் இருக்கலாம்.

• அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

• அடிப்படை இயற்கணித தேற்றம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. பல்லுறுப்புக் கோவையற்றவைகளுக்கு படியைப் பற்றியே கூற முடியாததால் பல்லுறுப்புக் கோவையற்றவைகளை மனதில் கொண்டு அடிப்படை இயற்கணித தேற்றத்தில் எந்த குழப்பமும் தேவையில்லை.