கலப்பு எண்கள் - உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் (Roots of Higher Degree Polynomial Equations) | 12th Maths : UNIT 3 : Theory of Equations
உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் (Roots of Higher Degree Polynomial Equations)
P(x) = 0 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும் என்பதை நாம் அறிவோம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் தீர்வு என்பதும், மூலம் என்பதும் ஒன்றுதான். எனவே இரு கலைச்சொற்களையுமே நாம் பயன்படுத்துகிறோம்.
ஒரு எண்ணைப் பிரதியிடுவதன் மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டுக்கு அது மூலமாக இருக்குமா அல்லது இருக்காதா என்பதை எளிதில் சோதித்து அறியலாம். ஆனால் அச்சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும்வரை இத்தகைய சோதித்து அறிதல் முயற்சி மூலங்களைக் கண்டறிய எளிய வழியாகும். ஆனால், உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்குப் பொதுவாக எளிதானதாக இருக்காது.
நான்கு அடிப்படை கணித செயற்பாடுகளான (கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல்) மற்றும் விகிதமுறு அடுக்கேற்றம் (வர்க்கம், கனம், வர்க்கமூலம் மற்றும் கனமூலம் போன்ற விகிதமுறுஎண் அடுக்குகளாக) மற்றும் கெழுக்களை மட்டும் பயன்படுத்தி எழுதப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் தீர்வு விகிதமுறு அடுக்குத் தீர்வு எனப்படும். ஐந்தாம் படி மற்றும் அதற்கு மேலுள்ள பொது பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் தீர்வினை விகிதமுறுத் தீர்வாக எழுத முடியாது என்பதை ஏபெல் நிரூபித்தார்.
உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை எட்டுவதற்குப் பயன்படும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிய சில முடிவுகள் கீழ்க்காணும் வகையில் எடுத்துரைக்கப்படுகின்றது.
• ஒரே மாறி உள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் ℝ −லிருந்து ℝ −க்கு ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாகும்.
• இரட்டைப்படை படியுள்ள P(x) = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ∞−யை x நெருங்கும்போது ∞ −யை P(x) நெருங்குகிறது. அதேபோல் ∞ −யை x நெருங்கும்போதும் ∞−யை P(x) நெருங்குகிறது. அதாவது x → ± ∞ எனும்போது P(x) P(x) → ∞ எனவே இரட்டைபடை படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் வரைபடம் மேற்புற உச்சியில் துவங்கி வலது மேற்புற உச்சியை சென்றடைவதைப் போல் காணப்படுகின்றது.
• பதினோராம் வகுப்பு முதல் தொகுதி பாடநூலில் உள்ள உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சார்புகளை வரைபடமாக்குதல் பகுதியில் ஆய்ந்த அனைத்து முடிவுகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரைபடங்களுக்குப் பொருந்தும். உதாரணமாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மாறிலி உறுப்பின் மாற்றம், வரைபடத்தை மேற்புறமாகவோ அல்லது கீழ்ப்புறமாகவோ நகர்த்தும்.
• ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் எண்ணற்ற முறை வகைமை உடையதாக இருக்கும்.
• x அச்சை P(x) = 0 என்ற வளைவரை வெட்டுமிடத்தில் உள்ள புள்ளிகளாக P(x) = 0 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மெய்யெண் மூலங்கள் உள்ளது.
• P(a) மற்றும் P(b) ஒன்றுக்கொன்று எதிர்குறிகளாக இருக்குமாறு அமையும் a மற்றும் b ஆகிய இரு மெய்யெண்கள் எனில்,
− P(c) = 0 என அமையுமாறு மெய்யெண்கோட்டில் c எனும் ஒரு புள்ளி இருக்கும்.
− a மற்றும் b −க்கிடையே ஒரு மூலம் உள்ளது.
− மேற்குறிப்பிட்ட புள்ளிகளுக்கிடையே ஒரே ஒரு மூலம் மட்டும்தான் இருக்க வேண்டும் எனும் அவசியமில்லை. 3,5,7,... என அமையலாம். அதாவது, a மற்றும் b −க்கிடையே ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் மெய்யெண் மூலங்கள் உள்ளது எனலாம் மற்றும் இரட்டைப் படை எண்ணிகையில் மூலங்கள் இருக்காது.
ஆயினும், மூலங்களைப் பற்றிய சில விவரங்கள் தெரிந்திருந்தால் பிற மூலங்களை கண்டறிய நாம் முயலலாம். உதாரணமாக, விகிதமுறுகெழுக்களுடைய ஓர் ஆறு படிபல்லுறுப்பு கோவை சமன்பாட்டின் இரு மூலங்கள் 2 + 3i மற்றும் 4 − √5 எனில், அப்பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாட்டிற்கு 2 – 3i மற்றும் 4 + √5 ஆகியவையும் மூலங்களாக இருக்கும். எனவே இந்நான்கு காரணிகளால் வகுக்க, கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணக்கு இருபடி சமன்பாட்டு கணக்காக குறைக்கப்பட்டு எளிதில் தீர்வு கண்டறியப்படுகின்றது. இப்பாடப்பகுதியில் உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மூலங்களைப் பற்றிய சில விவரங்களின் அடிப்படையில் மூலங்களைக் கண்டறிய சில வழிமுறைகளைக் காண்போம்.