வட்டத்தின் பகுதிகள் (Parts of Circle)

வட்டத்தின் பகுதிகள் (Parts of Circle)

வட்டங்கள் என்ற வடிவியல் உருவத்தை நம்மைச் சுற்றியுள்ள பொருள்களிலிருந்தே பார்க்க முடியும். வட்டத்தைப் பற்றிய கருத்துக்களை முழுவதுமாகப் புரிந்து கொண்டதன் விளைவாகச் சக்கரம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இது மனித குல வரலாற்றில் மிகப்பெரிய மாற்றத்தை ஏற்படுத்திய கண்டுபிடிப்பாகும்.

ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து மாறாத தொலைவில் உள்ள புள்ளிகளின் கணமே ஒரு வட்டம் என விளக்கலாம். நிலையான புள்ளியானது அந்த வட்டத்தின் மையத்தையும் மாறாத தொலைவானது அந்த வட்டத்தின் ஆரத்தையும் குறிக்கும்.

ஒரு கோடு வட்டத்தை இரு புள்ளிகளில் வெட்டுமானால் அது அந்த வட்டத்தின் வெட்டும்கோடு என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு கோட்டுத்துண்டின் முனைப்புள்ளிகள் வட்டத்தின் மேல் அமையுமானால் அது அந்த வட்டத்தின் நாண் என அழைக்கப்படுகிறது.

வட்ட மையத்தின் வழியே செல்லும் நாண் வட்டத்தின் விட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது. வட்டத்தின் பரிதி என்பது அதன் எல்லையாகும் (பலகோணங்களில் இதற்கு நாம் சுற்றளவு என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்துகிறோம்).

குறிப்பு

ஒரு வட்டமானது பலகோணத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது. ஒரு பலகோணம் (எடுத்துக்காட்டாக நாற்கரம்) பக்கங்கள் மற்றும் முனைகளை உடையது. அதே நேரத்தில் வட்டமானது எளிய சீரான வளைவரையாகும்.

படம் 4.44 இல் வட்டத்தின் மேல் இரு புள்ளிகளை அந்தக் கோட்டுத்துண்டுகள் சந்திப்பதைக் காணலாம். இந்தக் கோட்டுத்துண்டுகளை வட்டத்தின் நாண்கள் என அழைக்கின்றோம். இதுபோல வட்டத்தின் மேல் உள்ள இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு, அந்த வட்டத்தின் நாண் என அழைக்கப்படுகிறது. படத்தில் AB, PQ மற்றும் RS என்பன வட்டத்தின் நாண்கள் ஆகும்.

இப்பொழுது அதே வட்டத்தின் மேல் P, R, Q மற்றும் S (படம் 4.45) என்ற நான்கு புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். இங்கு PRQ மற்றும் QSP என்பன வட்டத்தின் தொடர்ச்சியான பகுதிகள் ஆகும். இந்தப் பகுதிகளை  மற்றும்  அல்லது சுருக்கமாக  மற்றும்  எனக் குறிக்கலாம். வட்டத்தின் தொடர்ச்சியான இந்தப் பகுதியானது வட்டவில் என அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, விற்கள் கடிகார எதிர்த் திசையில் குறிக்கப்படுகிறது.

புள்ளிகள் P மற்றும் Q (படம் 4.45) ஆகியன முழு வட்டத்தை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. ஒன்று நீளம் அதிகமானது மற்றொன்று நீளம் குறைவானது. நீளம் அதிகமானது பெரிய வில்  மற்றும் நீளம் குறைவானது சிறிய வில்  என அழைக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு

ஒரு வட்டத்தின் விட்டமானது,

• வட்டத்தை இருசமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் ஒரு கோட்டுத்துண்டு.

• வட்டத்தின் மிக நீளமான நாண்.

• வட்டத்தின் ஒரு சமச்சீர் கோடு.

• ஆரத்தைப் போல இருமடங்கு நீளமுடையது.

இப்பொழுது படம் 4.46 இல் நாண் PQ மற்றும் பெரிய வில்  ஆல் அடைபட்ட பகுதியைக் கருதினால், அது பெரிய வட்டத்துண்டு என அழைக்கப்படும். இதேபோல், அதே நாண் மற்றும் சிறிய வில்லால் அடைபட்ட பகுதி சிறிய வட்டத்துண்டு எனவும் அழைக்கப்படும்.

வட்டத்தின் இரண்டு வில்கள்  மற்றும்  (படம் 4.47) ஆனது வட்ட மையத்தில் சமகோணங்களைத் தாங்கும் எனில், அவை ஒருங்கிசைவு வில்கள் எனப்படும். மேலும் அவற்றை ,  ≡  என எழுதலாம். இதிலிருந்து, m  = m ஆகும். அதனால், ∠AOB = ∠COD

இங்கு, படம் 4.48இல் இரண்டு ஆரங்கள் மற்றும் வில்லால் அடைபடும் பகுதியை வட்டக்கோணப் பகுதி எனலாம். வட்டத் துண்டைப் போலவே, சிறிய வில்லானது சிறிய வட்டக்கோணப் பகுதியையும், பெரிய வில்லானது பெரிய வட்டக்கோணப் பகுதியையும் குறிப்பதைக் காணலாம்.

பொது மைய வட்டங்கள் (Concentric Circles)

ஒரே மையத்தையும் வெவ்வேறு ஆரங்களையும் உடைய வட்டங்கள் பொது மைய வட்டங்கள் எனப்படும். அன்றாட வாழ்வில் நாம் காணும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

சர்வசம வட்டங்கள் (Congruent Circles)

இரண்டு வட்டங்கள் சர்வசமம் எனில், ஒன்று மற்றொன்றின் நகலாக இருக்கும் அல்லது ஒன்றுபோல் இருக்கும். அதாவது, அவை ஒரே அளவுடையவை. அன்றாட வாழ்வில் நாம் காணும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

சிந்தனைக் களம்: படத்தில் உள்ளதுபோல், நான்கு சர்வசம வட்டங்கள் வரைக. நீங்கள் அறிவது என்ன ? 

வட்டத்தைப் பொறுத்து ஒரு புள்ளி அமையும் நிலை (Position of a point with respect to a circle)

ஒரு தளத்தில் ஒரு வட்டத்தை எடுத்துக்கொண்டு (படம் 4.51) வட்டம் அமைந்துள்ள தளத்தில் புள்ளி P ஐக் கருதுக. வட்ட மையம் O விலிருந்து புள்ளி Pக்கு உள்ள தூரம் OP எனில், P இன் அமைவிடமானது,

 (v) OP = ஆரம் (புள்ளி P, வட்டத்தின் மேல் உள்ளது.)

 (vi) OP < ஆரம் (புள்ளி P, வட்டத்தின் உள்ளே உள்ளது.)

(vii) OP > ஆரம் (புள்ளி P, வட்டத்தின் வெளியே உள்ளது.)

எனவே, ஒரு வட்டமானது அது அமைந்திருக்கும் தளத்தை மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது.

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்:

சரியா? தவறா? எனக் கூறுக:

1. ஒவ்வொரு வட்ட நாணும் சரியாக வட்டத்தின் இரு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும்.

2. வட்டத்தின் அனைத்து ஆரங்களும் ஒரே நீளமுடையவை.

3. வட்டத்தின் ஒவ்வோர் ஆரமும் ஒரு நாணாகும்.

4. வட்டத்தின் ஒவ்வொரு நாணும் ஒரு விட்டமாகும்.

5. வட்டத்தின் ஒவ்வொரு விட்டமும் ஒரு நாணாகும்

6. ஒரு வட்டத்திற்கு எத்தனை விட்டங்கள் வேண்டுமானாலும் இருக்க இயலும்.

7. இரு விட்டங்கள் ஒரே முனைப் புள்ளிகளைப் பெற்றிருக்க முடியாது.

8. ஒரு வட்டமானது தளத்தை மூன்று வெவ்வேறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது.

9. ஒரு வட்டத்தை ஒரு பெரிய வட்ட வில், ஒரு சிறிய வட்ட வில் எனப் பிரிக்கலாம்.

10. வட்ட மையத்திலிருந்து பரிதிக்கு உள்ள தொலைவு விட்டம் ஆகும்.

சிந்தனைக் களம்

1. ஒரு வட்டத்திற்கு எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன?

2. வட்டம் ஒரு பலகோணமா?

1. மூன்று புள்ளிகள் வழியே செல்லும் வட்டம் (Circle Through Three Points)

இரு புள்ளிகள் வழியே ஒரே ஒரு கோடுதான் வரைய முடியும் என்பதை நாம் முன்பே கற்றுள்ளோம். இதுபோன்று ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியே எத்தனை வட்டங்கள் வரைய இயலும் என்பதை நாம் கற்க இருக்கின்றோம். கொடுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளி P வழியேயும் (படம் 4.52) இரண்டு புள்ளிகள் A, B வழியேயும் (படம் 4.53) எண்ணற்ற வட்டங்கள் வரைய இயலும் என்பதை நம்மால் பார்க்க முடிகிறது.

இப்பொழுது ஒரே கோட்டிலமையும் மூன்று புள்ளிகள் A, B மற்றும் C (படம் 4.54) ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இந்தப் புள்ளிகள் வழியே ஒரு வட்டம் வரைய நம்மால் இயலுமா? இதைச் சிந்திக்கும்பொழுது, புள்ளிகள் ஒரு கோடமைவன எனில் நம்மால் வட்டம் வரைய இயலாது!

மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு கோட்டில் அமையாத புள்ளிகள் எனில், அவை ஒரு முக்கோணத்தை அமைக்கும் (படம் 4.55). சுற்றுவட்டம் வரைதலை நினைவு கூர்ந்தால், பக்கங்களின் மையக்குத்துக் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியானது சுற்றுவட்ட மையம் எனவும் அந்த வட்டமானது சுற்றுவட்டம் எனவும் அழைக்கப்படும்.

இதிலிருந்து A, B மற்றும் C வழியாக ஒரேயொரு வட்டம்தான் செல்கிறது என்பது தெளிவாகிறது. இந்தக் கூற்றானது பின்வரும் முடிவிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.

தேற்றம் 6 ஒரே கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகள் வழியே ஒரே ஒரு வட்டம்தான் வரைய இயலும்.