பல்லுறுப்புக் கோவைகள் (Polynomials)

பல்லுறுப்புக் கோவைகள் (Polynomials)

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை என்பது மாறிகள் மற்றும் மாறிலிகளைக் கொண்டு நான்கு அடிப்படைச் செயல்களால் இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஆகும். இங்கு மாறிகளின் அடுக்குகள் குறையற்ற முழுக்கள் ஆகும்.

ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக் கோவை (Polynomial in One Variable)

  p(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0

என்ற வடிவில் அமைந்த ஓர் இயற்கணிதக் கோவை பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். இங்கு x இன் படி 'n' மேலும் a0,a1,a2,…an ஆகியவை மாறிலிகள் (an ≠ 0) மற்றும் n ஒரு முழு எண்.

குறிப்பு

இயற்கணிதக் கோவையின் மாறி எந்த மெய்யெண் மதிப்பையும் பெறலாம்.  எனினும் பல்லுறுப்புக் கோவையின் அடுக்கு எப்பொழுதும் குறையல்லாத  ஒருங்கிணைந்த அடுக்காகும். (non negative integral) அதாவது எப்பொழுதும் முழு எண்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும். எல்லா a இன் மதிப்பிற்கும் a0 = 1 என்பதை நினைவில் கொள்க. 

பல்லுறுப்புக் கோவைகள் பொதுவாக f(x),g(x),p(t),q(z) மற்றும் r(x) எனக் குறிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக

பல்லுறுப்புக் கோவையின் திட்ட வடிவம் (Standard Form of a Polynomial)

 p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை அதன் x இன் அடுக்கைப் பொறுத்து இறங்கு வரிசையிலோ அல்லது ஏறு வரிசையிலோ எழுத இயலும். இது பல்லுறுப்புக் கோவையின் திட்ட வடிவம் எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டாக, 

 (i) 8x4 + 4x3 – 7x2 − 9x + 6 (ii) 5 – 3y + 6y2 + 4y3 − y4

செயல்பாடு 2

 கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளைத் திட்ட வடிவில் எழுதுக.

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி (Degree of the Polynomial)

ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக் கோவையில், மாறியின் மிக உயர்ந்த அடுக்கே அந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி (Degree) எனப்படும்.

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை எனில் அதன் ஒவ்வோர் உறுப்பில் உள்ள மாறிகளின் அடுக்குகளின் கூடுதல் கண்டறியப்பட்டு, அதில் மிக உயர்ந்த அடுக்கே அந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் படியாகும்.

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி என்பது மிகக் குறிப்பிடத்தக்க அடுக்காகக் கருதப்படுகிறது. x2+5x எனும்போது x இன் மிக உயரிய மதிப்புகளுக்கு, x2 இன் மதிப்பானது 5x ஐ விட மிக அதிகமாக இருக்கும். எனவே, x இன் மிக உயரிய மதிப்புகளுக்கு x2 + 5x கிட்டத்தட்ட x2 ஐ ஒத்திருப்பதாக நாம் சிந்திக்கலாம். ஆகையினால், அடுக்கு உயர்ந்ததாக இருப்பின் அதன் ஆதிக்கமும் அதிகமாக இருக்கும். அதனால்தான், நாம் மிக உயர்ந்த அடுக்கினைப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் முக்கியத் தகவலாகப் பயன்படுத்துவதோடு, அதற்கு ஒரு பெயரையும் வைத்துள்ளோம். 

எடுத்துக்காட்டு 3.1

கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவையில் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பின் படியையும் காண்க. மேலும் பல்லுறுப்புக் கோவையின் படியைக் காண்க.

 6ab8 + 5a2b3c2 – 7ab + 4b2c + 2 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை  6ab8 + 5a2b3c2 – 7ab + 4b2c + 2 

ஒவ்வோர் உறுப்பின் படியும் பின்வருமாறு

6ab8 இன் படி (1+8) = 9 

5a2b3c2 இன் படி (2+3+2) = 7

7ab இன் படி (1+1) = 2

4b2c இன் படி (2+1) = 3

2 இன் படி 0 (மாறிலி உறுப்பின் படி எப்பொழுதும் பூச்சியமாகக் கருதப்படும்).

பல்லுறுப்புக் கோவை  6ab8 + 5a2b3c2 – 7ab + 4b2c + 2  யின் படி.

= மிக உயர்ந்த படியைக் கொண்ட உறுப்பின் படியாகும் 

= 9 

ஒரு சிறப்பு பல்லுறுப்புக் கோவை (A Very Special Polynomial)

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் கெழுவானது எந்த மெய்யெண்ணாகவும் இருக்கலாம் என நாம் கூறியிருந்தோம். ஒருவேளை கெழு பூச்சியமாக இருப்பின் என்ன நிகழும்? அந்த உறுப்பு பூச்சியமாகிவிடும். எனவே நாம் அதனை எழுதத் தேவையில்லை . சரி, மற்ற அனைத்துக் கெழுக்களும் பூச்சியம் எனில் என்னவாகும்? இப்போது அனைத்துக் கெழுக்களும் பூச்சியம் என்பதை ஏற்றுக்கொண்டு அதற்கு ஒரு பெயரை அளிப்போம்.

இவ்வாறு அனைத்துக் கெழுக்களையும் பூச்சியமாகக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள்.

  g(t) = 0t4 + 0t2 – 0t,     h(p) = 0p2 – 0p + 0 என்றவாறு இருக்கும்.

மேற்காணும் எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பூச்சியப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் படியினைப் பற்றி நாம் பேசவில்லை என்பதை உணரலாம். இவை இரண்டும் வெவ்வேறு படிகளைப் பெற்றிருப்பினும் இரண்டுமே பூச்சியப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள்தாம்.

பூச்சியப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி வரையறுக்கப்படவில்லை.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள் (Types of Polynomials)

(i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில் பல்லுறுப்புக் கோவை

ஓருறுப்புக் கோவை:

ஒரே ஓர் உறுப்பைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஓருறுப்புக் கோவை எனப்படும் 

எடுத்துக்காட்டு : 5, 6m, 12ab

ஈருறுப்புக் கோவை:

இரண்டு உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஈருறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 5x + 3, 4a − 2, 10p + 1

மூவுறுப்புக் கோவை:

மூன்று உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை மூவுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 4x2 + 8x – 12, 3a2 + 4a + 10

(ii) “படி” இன் அடிப்படையில் பல்லுறுப்புக் கோவை

மாறிலிப் பல்லுறுப்புக் கோவை:

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி பூச்சியம் எனில் அது மாறிலிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 5,−7, 2/3, √5 

ஒருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை:

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி ஒன்று எனில், அது ஒருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 410x – 7

இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை:

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி இரண்டு எனில், அது இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 2√5x2 + 8x – 4 

முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை:

பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி மூன்று எனில், அது முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு : 12y3, 6m3 – 7m + 4

எடுத்துக்காட்டு 3.2

கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில் வகைப்படுத்துக.

எடுத்துக்காட்டு 3.3

கீழ்க்காணும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை அவற்றின் படிகளின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்துக.