செய்முறை வடிவியல் (Practical Geometry)

செய்முறை வடிவியல் (Practical Geometry)

செய்முறை வடிவியல் என்பது புள்ளிகள், நேர்க்கோடுகள், கோணங்கள் மற்றும் பிற உருவங்களின் பண்புகளைப் பற்றிய வடிவியல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி வடிவியல் உருவங்களை வரையும் முறையாகும். வடிவியலில் வரைதல் (Construction) என்பது கோணங்கள், நேர்க்கோடுகள் மற்றும் உருவங்கள் ஆகியவற்றைத் துல்லியமாக வரைதலாகும். யுக்ளிட் என்பவர் தன் “கூறுகள்” ('Elements') என்ற நூலில் வடிவியலின் வரைபடங்களைப் பற்றித் தெளிவாகக் கூறியுள்ளார். எனவே, இவ்வரைபடங்கள் யுக்ளிடின் வரைபடங்கள் எனவும் அறியப்படுகின்றன. அளவுகோல் மற்றும் கவராயம் பயன்படுத்தி இவ்வரைபடங்கள் வரையப்படுகின்றன. கவராயம் சமதூரத்தையும், அளவுகோல் நேர்க்கோட்டில் புள்ளிகளை அமைக்கவும் உதவுகின்றன. அனைத்து வடிவியல் வரைதல்களும் இவ்விரு கருத்துகளின் அடிப்படையிலேயே அமைகின்றன.

அளவுகோல் மற்றும் கவராயத்தைப் பயன்படுத்தி விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் விகிதமுறா எண்களைக் குறிக்க இயலும் என்பதை நாம் மெய்யெண்கள் பகுதியில் கற்றோம். 1913இல் இந்தியக் கணிதமேதை இராமானுஜன் 355/113 = π ஐக் குறிக்க ஒரு வடிவியல் முறையை அளித்தார். தற்போது துல்லியமான அளவுகளைக் கொண்டு வரையும் திறன்களைப் பயன்படுத்தி நேர்க்கோடுகளால் மலைக்குள்ளே செல்லும் சுரங்கப்பாதை அமைப்பை வரையமுடியும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. முந்தைய வகுப்புகளில் கோணங்கள் மற்றும் முக்கோணங்கள் வரைவது பற்றி நாம் கற்றுள்ளதை நினைவு கொள்வோம்.

இந்தப் பகுதியில் நாம் முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம், குத்துக்கோட்டு மையம், சுற்று வட்ட மையம் மற்றும் உள்வட்ட மையம் வரைதல் பற்றி ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடுகளைப் பயன்படுத்திக் கற்க இருக்கிறோம்.

1. முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் வரைதல் (Construction of the Centroid of a Triangle)

நடுக்கோட்டு மையம் (Centroid)

முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி, அம்முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் எனப்படும். இது பொதுவாக G எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

செயல்பாடு  − 8

நோக்கம்

காகித மடிப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு கோட்டுத்துண்டின் மையப் புள்ளியைக் காணுதல்

செய்முறை

ஒரு காகிதத்தை மடித்து PQ என்ற கோட்டுத்துண்டை உருவாக்குவோம். P என்ற புள்ளி Q இன் மீது பொருந்துமாறு மீண்டும் காகிதத்தை மடிக்கும்போது இரண்டு கோட்டுத் துண்டுகளும் வெட்டும் புள்ளியை M எனக் குறிக்க. M என்பது PQ இன் மையப்புள்ளி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.12

∆PQR இன் நடுக்கோட்டு மையம் வரைக. அதன் பக்கங்கள் PQ = 8செமீ ; QR = 6செமீ ; RP = 7செமீ.

தீர்வு

படி 1: கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகள் PQ=8செமீ, QR=6செமீ மற்றும் RP=7செமீ கொண்ட ∆PQR வரைக. ஏதேனும் இரு பக்கங்களுக்கு (PQ மற்றும் QR) மையக்குத்துக் கோடுகள் வரைந்து PQ இன் நடுப்புள்ளி M மற்றும் QR இன் நடுப்புள்ளி N ஐ குறிக்க.

படி 2: நடுக்கோடுகள் PN மற்றும் RM வரைக. அவை சந்திக்கும் புள்ளி G ஆகும். புள்ளி G ஆனது ∆PQR இன் நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

குறிப்பு

• ஒரு முக்கோணத்திற்கு மூன்று நடுக்கோடுகள் வரைய இயலும்.

• நடுக்கோட்டு மையமானது நடுக்கோடுகளை முனையிலிருந்து 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

• அனைத்து வகை முக்கோணங்களுக்கும் நடுக்கோட்டு மையமானது முக்கோணத்தின் உள்ளேயே அமையும்.

• நடுக்கோட்டு மையமானது அந்த முக்கோணத்தின் புவிஈர்ப்பு மையம் (முக்கோணத்தை இந்தப் புள்ளியில் நிலையாகத் தாங்கி நிறுத்த முடியும்) அல்லது தாங்கு மையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

2. முக்கோணத்தின் குத்துக்கோட்டுமையம் வரைதல் (Construction of the Orthocentre of a Triangle)

குத்துக்கோட்டுமையம் (Orthocentre)

ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோட்டுமையம் என்பது அம்முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளில் இருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியாகும். இது செங்கோட்டுமையம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இதை H என்று குறிப்போம்.

செயல்பாடு 9

நோக்கம்

காகித மடிப்பைப் பயன்படுத்திக் கோட்டுத்துண்டிற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து குத்துக் கோடு அமைத்தல்.

செய்முறை

ஒரு தாளில் AB என்ற கோட்டுத்துண்டை வரைந்து அதற்கு மேல் பகுதியில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். B என்ற புள்ளியை BA என்ற கோட்டுத்துண்டின் வழியே நகர்த்தி மடிப்பானது P என்ற புள்ளியைத் தொடும்போது தாளை மடிக்கக் கிடைக்கும் கோடு P என்ற புள்ளியிலிருந்து AB  −க்குக் குத்துக்கோடு ஆகும்.

செயல்பாடு 10

நோக்கம்

தாள் மடிப்பு முறையில் முக்கோணத்தின் குத்துக்கோட்டு மையத்தைக் கண்டறிதல்.

செய்முறை

மேற்கண்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு முனைகளிலிருந்து அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்களுக்கு செங்குத்துக்கோடுகள் வரைக. செங்குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி முக்கோணத்தின் குத்துக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.13

PQ = 6 செமீ, ∠Q = 60° மற்றும் QR = 7 செமீ அளவுகளைக் கொண்ட ∆PQR வரைந்து அதன் குத்துக்கோட்டு மையம் காண்க.

தீர்வு

படி 1:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு ∆PQR வரைக.

 படி 2:

R மற்றும் P இலிருந்து அதன் எதிர்ப்பக்கங்கள் PQ மற்றும் QR இக்கு குத்துக்கோடுகள் வரைக.

அவ்விரண்டு குத்துக் கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளி H ஆனது , ∆PQR இன் குத்துக்கோட்டு மையம் ஆகும்.

குறிப்பு

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணங்களுக்கு குத்துக்கோட்டு மையம் எங்கே அமையும் என்பதை அறிந்துகொள்ளுதல்.