பிதாகரஸ் தேற்றம்

பிதாகரஸ் தேற்றம் (Pythagoras Theorem)

கணிதத்தில் உள்ள அனைத்துத் தேற்றங்களிலும், பிதாகரஸ் தேற்றம்தான் மிகவும் முக்கியமானதாகக் கருதப்படுகிறது. ஏனெனில் இது அதிக அளவிலான நிரூபணங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிதாகரஸ் தேற்றத்தை நிரூபிக்க 350-க்கும் அதிகமான வெவ்வேறு வழிமுறைகள் உள்ளன. இந்த நிரூபணங்கள் ஒவ்வொன்றும் சிறந்த கணிதவியலாளர்கள், அறிஞர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆர்வலர்கள் ஆகியோரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இவர்களில் அமெரிக்காவின் 20-வது ஜனாதிபதி ஜேம்ஸ் கார்பீல்டும் ஒருவர். அமெரிக்காவிலுள்ள கணிதம் கற்பித்தலுக்கான தேசிய மன்றம் (NCTM) வெளியிட்டுள்ள எலிஷாஸ்காட் லூமிஸ் எழுதிய "The Pythagorean Proposition" என்ற தலைப்பிலான புத்தகத்தில் பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் 367 நிரூபணங்கள் உள்ளன.

மூன்று எண்கள் (a, b, c) என்பன செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எனில், அந்த மூன்று எண்கள் (a, b, c) -ஐ பிதாகோரியனின் மூன்றின் தொகுதி என அழைக்கலாம். ஆகவே, (a, b, c) என்பவை பிதாகோரியனின் மூன்றின் தொகுதி எனில், c2 = a2 + b2 வடிவியல் மட்டுமல்லாது, கணிதத்தின் அனைத்துப் பிரிவுகளிலும் மிகப் பிரபலமானதும், முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததுமான இத்தேற்றத்தைப் பற்றி இப்பொழுது கற்போம்.

செயல்பாடு 4

படி 1: ஒரு வரைபடத்தாளில், முக்கோணம் (i)-யில் கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளுக்கு ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வெட்டுக. 

படி 2: மூன்று வெவ்வேறு வண்ண வரைபடத்தாள்களைக் கொண்டு முக்கோணம் (ii)–யின் பக்க அளவுகள் முக்கோணம் (i)-யின் பக்கங்களின் மூன்று மடங்காகவும், முக்கோணம் (iii)- யின் பக்க அளவுகள் முக்கோணம் (i)- யின் பக்கங்களின் நான்கு மடங்காகவும், முக்கோணம் (iv)-யின் பக்க அளவுகள் முக்கோணம் (i)-யின் பக்கங்களின் ஐந்து மடங்காகவும் இருக்குமாறு மூன்று முக்கோணங்களை வெட்டுக.

படி 3: முக்கோணங்கள் (ii) மற்றும் (iii)-யில் பொதுவான அளவு 12 உள்ள பக்கங்களை இணைத்து அவற்றை முக்கோணம் (iv)-யின் மீது வைக்கும்போது இவ்விரு முக்கோணங்களும் (iv)-வோடு ஒன்றின்மீது ஒன்று சரியாகப் பொருந்தியிருக்கும். 

கர்ணத்தின் சமன்பாட்டை எழுதவும். இதிலிருந்து என்ன முடிவுக்கு வருகிறாய்?

குறிப்பு 

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் 90° (செங்கோணம்)-க்கு எதிராக உள்ள பக்கம் கர்ணம் என்றழைக்கப்படுகிறது. 

• மற்ற இரண்டு பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எனப்படுகிறது. 

• செங்கோண முக்கோணத்தில் மிக நீளமான பக்கமே கர்ணம் ஆகும்.

தேற்றம் 5 : பிதாகரஸ் தேற்றம் (Pythagoras Theorem) 

கூற்று

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

நிரூபணம்

கொடுக்கப்பட்டது: ΔABC -யில் ∠A = 90° 

நிரூபிக்க : AB2 + AC2 = BC2 

அமைப்பு : AD ┴ BC வரைக.

(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட நாம் பெறுவது, 

AB2 + AC2 = BC × BD + BC × DC

= BC (BD + DC) = BC × BC

AB2 + AC2 = BC2.    

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது. 

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

இந்தியாவில் பிதாகரஸ் தேற்றமானது "பௌதயானா தேற்றம்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

சிந்தனைக் களம் 

1. ஐந்து பிதாகோரியனின் மூன்றன் தொகுதிகளை எழுதுக. 

2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரு குறுங்கோணங்களின் கூடுதல் ------------.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலை (Converse of Pythagoras Theorem) 

கூற்று

ஒரு முக்கோணத்தில் நீளமான பக்கத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் எனில், அந்த முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

சிந்தனைக் களம் 

செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் அளவுகளும் ஒற்றை எண்களாக இருக்க இயலுமா? ஏன்? 

செயல்பாடு 5 

(i) இரு அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்களை எடுத்துக்கொள்க. 

(ii) அந்த இரு எண்களின் தலைகீழிகளை எழுதிக் கூட்டவும். அது p/q வடிவில் இருக்கும்.

(iii) p/q -யில் பகுதியுடன் 2 ஐக் கூட்ட நாம் பெறுவது q + 2. 

(iv) இப்பொழுது p, q, q + 2 என்ற எண்களைக் கருதுக. இந்த மூன்று எண்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு என்ன? 

இந்தச் செயல்பாட்டை, மூன்று ஜோடி அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்களைக் கொண்டு செய்து பார்த்து உங்கள் பதிலைக் குறிப்பிடுக.

எடுத்துக்காட்டு 4.20 

ஒரு விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 6 மீ. அதன் அடியிலிருந்து 8 மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு பூச்சி, கம்பத்தை நோக்கி ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைவு நகர்கிறது. கம்பத்தின் உச்சிக்கும் தற்பொழுது பூச்சி இருக்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு, பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி நகர்ந்த தொலைவிற்குச் சமம் எனில், கம்பத்தின் அடியிலிருந்து பூச்சி தற்பொழுது எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது? 

தீர்வு 

விளக்கு கம்பத்தின் அடிக்கும், பூச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு BD = 8 மீ

விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் AB = 6 மீ

x மீ தொலைவு நகர்ந்த பின்பு பூச்சி இருக்கும் இடம் C என்க. 

AC = CD = x என்க. மேலும் BC = BD - CD = 8 – x

ΔABC - யில், ∠B = 90°

AC2 = AB2 + BC 2 ⇒ x2 = 62 + (8 − x)2

x2 = 36 + 64 − 16x + x2

16x = 100  எனவே, x = 6. 25

எனில், BC = 8 − x = 8 − 6.25 = 1. 75 மீ

எனவே, பூச்சியானது விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.75 மீ தொலைவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 4.21 

ΔABC - யில் C ஆனது செங்கோணம் ஆகும். பக்கங்கள் CA மற்றும் CB-யின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q எனில் 4(AQ2 + BP2) = 5AB2 என நிறுவுக. 

தீர்வு 

ΔAQC -யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், AQ2 = AC2 + QC2  ………(1) 

ΔBPC - யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், BP2 = BC2 + CP2…….(2)

ΔABC -யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், AB2 = AC2 + BC2 …......(3) 

(1) மற்றும் (2)- லிருந்து, AQ2 + BP2 = AC2 + QC2 + BC2 + CP2

4(AQ2 + BP2) = 4AC2 + 4QC2 + 4BC2 + 4CP2

= 4AC 2 + (2QC)2 + 4BC 2 + (2CP)2

= 4AC2 + BC2 + 4BC 2 + AC2 (Pமற்றும் Q என்பது நடுப்புள்ளி என்பதால்)

= 5(AC2 + BC2) (சமன்பாடு (3)-லிருந்து)

4(AQ2 + BP2) = 5AB2 

எடுத்துக்காட்டு 4.22 

சுவரின் அடியிலிருந்து 4 அடி தொலைவில் உள்ள ஏணியானது சுவரின் உச்சியை 7 அடி உயரத்தில் தொடுமெனில் தேவையான ஏணியின் நீளத்தைக் காண்க. விடையை ஒரு தசம இடத்திருத்தமாக தருக. 

தீர்வு 

ஏணியின் நீளம் AB = x என்க BC = 4 அடி, AC = 7 அடி. 

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, AB2 = AC2 + BC2

x2 = 72 + 42 ⇒ x2 = 49 + 16

x2 = 65. எனவே, x = √65

√65 ஆனது 8 மற்றும் 8.1 -க்கு இடையில் அமைகிறது.

82  = 64 < 65 < 65.61 = 8.12

எனவே, ஏணியின் நீளம் தோராயமாக 8.1 அடி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.23 

ஒரு விமானம் விமான நிலையத்தை விட்டு மேலெழுந்து வடக்கு நோக்கி 1000 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. அதே நேரத்தில் மற்றொரு விமானம் அதே விமான நிலையத்தை விட்டு மேலெழுந்து மேற்கு நோக்கி 1200 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. 1½ மணி நேரத்திற்குப் பிறகு இரு விமானங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு எவ்வளவு இருக்கும்?

தீர்வு 

முதல் விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு வடக்கு நோக்கி A என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க. (தொலைவு = வேகம் × நேரம்)

எனவே OA = ( 1000 × 3/2 ) கி.மீ = 1500 கி.மீ.

இரண்டாவது விமானம் O -வில் இருந்து புறப்பட்டு மேற்கு நோக்கி B என்ற இடத்திற்குச் செல்கிறது என்க.

எனவே OB = (1200 × 3/2 ) = 1800 கி.மீ.

கணக்கிடப்பட வேண்டிய தேவையான தொலைவு BA ஆகும். செங்கோணம் AOB -யில், AB2 = OA2 +OB2

AB2   = (1500)2 + (1800)2 = 1002 (152 + 182)

= 1002 × 549 = 1002 × 9 × 61

AB = 100 × 3 × √61 = 300√61 கி.மீ.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. ________________ ஆனது செங்கோண முக்கோணத்தின் நீளமான பக்கம் ஆகும். 

2. கணிதத்தின் முதல் தேற்றம் ___________ ஆகும். 

3. ஒரு முக்கோணத்தின் நீளமான பக்கத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் எனில், அம்முக்கோணம் ___________

4. சரியா, தவறா எனக் கூறுக.

(i) எல்லா வகை முக்கோணங்களுக்கும் பிதாகரஸ் தேற்றம் பொருந்தும் 

(ii) செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் 4 -ன் மடங்காக இருக்கும்.