உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு (பயன்படுத்தப்பட்ட பொருளின் கன அளவு)

உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு (பயன்படுத்தப்பட்ட பொருளின் கன அளவு) (Volume of a Hollow Cylinder)

R மற்றும் r என்பன முறையே உள்ளீடற்ற உருளையின் வெளி மற்றும் உள் ஆரங்கள் என்க. மேலும் h என்பது உருளையின் உயரம் என்க. 

கன அளவு V = (வெளி உருளையின் கன அளவு) - (உள் உருளையின் கன அளவு)

V = πR 2h − πr2h = π (R 2 −r2 ) h 

உள்ளீடற்ற உருளையின் கனஅளவு = π (R 2 −r2 ) h க. அ 

எடுத்துக்காட்டு 7.15 

உயரம் 2 மீ மற்றும் அடிப்பரப்பு 250 ச.மீ கொண்ட ஓர் உருளையின் கனஅளவைக் காண்க. 

தீர்வு 

உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் முறையே r மற்றும் h என்க.

இங்கு, உயரம் h = 2 மீ, அடிப்பரப்பு = 250 ச.மீ 

உருளையின் கன அளவு = πr2h க.அ

= அடிப்பரப்பு × h

= 250 × 2 = 500 மீ3 

எனவே, உருளையின் கனஅளவு = 500 க.மீ 

சிந்தனைக் களம் 

1. ஓர் உருளையின் உயரம் அதன் ஆரத்தின் வர்க்கத்தோடு எதிர் விகிதத் தொடர்பு உடையது எனில், அதன் கன அளவு ____________ ஆகும். 

2. 'r' ஆரமும் 'h' உயரமும் உடைய ஒரு உருளையின் கன அளவை, அதன் (அ) ஆரம் பாதியாகும்போது காண்க. (ஆ) உயரம் பாதியாகும்போது காண்க. 

எடுத்துக்காட்டு 7.16 

ஓர் உருளை வடிவ தண்ணீ ர் தொட்டியின் கன அளவு 1.078 × 106 லிட்டர் ஆகும். தொட்டியின் விட்டம் 7 மீ எனில், அதன் உயரம் காண்க. 

தீர்வு 

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. 

தொட்டியின் கனஅளவு = 1.078 × 106 = 1078000 லிட்டர் 

= 1078 மீ3 (ஏனெனில் 1l = 1/1000  மீ3)

இங்கு, விட்டம் = 7 மீ எனில், ஆரம் = 7/2 மீ 

தொட்டியின் கன அளவு = πr2h க. அ

1078 = 22/7 × 7/2 × 7/2 ×h 

ஆகவே, தொட்டியின் உயரம் 28 மீ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.17 

ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையின் உயரம், உட்புற மற்றும் வெளிப்புற ஆரங்கள் முறையே 9 செ.மீ, 21 செ.மீ மற்றும் 28 செ.மீ ஆகும். உருளையை உருவாக்கத் தேவைப்படும் இரும்பின் கன அளவைக் காண்க. 

தீர்வு 

உள்ளீடற்ற உருளையின் உயரம், உட்புற ஆரம் மற்றும் வெளிப்புற ஆரம் முறையே h,r மற்றும் R என்க.

இங்கு, r =21 செ.மீ, R = 28 செ.மீ, h = 9 செ.மீ 

உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு = π(R2 −r2 )h க.அ

= 22/7 (282 − 212) × 9

= 22/7 (784 − 441) × 9 = 9702

ஆகவே, தேவையான இரும்பின் கன அளவு = 9702 க. செ.மீ 

எடுத்துக்காட்டு 7.18 

படம் 7.27-ல் உள்ள உருளை A மற்றும் B-ல்

(i) எந்த உருளையின் கன அளவு அதிகமாக இருக்கும்? 

(ii) அதிகக் கன அளவு கொண்ட உருளையின் மொத்தப்புறப்பரப்பு அதிகமாக இருக்குமா எனச் சோதிக்க. 

(iii) உருளை A மற்றும் B-ன் கன அளவுகளின் விகிதம் காண்க. 

தீர்வு 

(i) உருளையின் கன அளவு = πr2h க.அ

உருளை A -ன் கனஅளவு = 22/7 × 7/2 × 7/2 × 21

= 808.5 செ.மீ3

உருளை B-ன் கனஅளவு = 22/7 × 21/2 × 21/2 × 7

= 2425.5 செ.மீ3

ஆகவே, உருளை B-ன் கன அளவு உருளை A-ன் கன அளவை விட அதிகம் ஆகும்.

(ii) உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr (h + r) ச.அ

உருளை A -ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2 × (22/7) × (7/2) ×(21 + 3. 5) = 539 செ.மீ2

உருளை B -ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2 × (22/7) × (21/2) ×(7 + 10. 5) = 1155 செ.மீ2

ஆகவே, கன அளவு அதிகம் கொண்ட உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு அதிகமாக உள்ளது.

(iii)

ஆகவே, உருளை A மற்றும் B -ன் கன அளவுகளின் விகிதம் 1:3.