இயற்கணிதம்

அலகு 3

இயற்கணிதம்

கற்றல் நோக்கங்கள்

• வடிவக் கணித நிரூபண முறையில், 

 * (x + a )(x +b) = x 2 + x(a + b) +ab

 * (a + b)2 =a2 + 2ab +b2

 * (a − b)2 = a2 − 2ab +b2 மற்றும் 

 * (a + b)(a −b) = a 2 −b2 . ஆகிய முற்றொருமைகளைத் தருவித்தல் 

• அந்த முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் கணக்குகளைத் தீர்க்கும் முறையை அறிதல்.

• காரணிப்படுத்தக் கூடிய இயற்கணிதக் கோவைகளை இனங்காணுதல். 

• ஒரு மாறியுடன் கூடிய அசமன்பாடுகளை எண்கோட்டில் குறித்தல்.

அறிமுகம் – முற்றொருமைகள்

அடுக்குக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி, இயற்கணிதக் கோவைகளை உருவாக்குவது குறித்து, நாம் ஏற்கனவே கற்றறிந்தோம். எடுத்துக்காட்டாக, x2+3x+2 என்னும் இயற்கணிதக் கோவையின் மாறி x. இக்கோவையை, x2 + 3x = -2 எனுமாறு சமன்பாடாக மாற்றி எழுதுவோம்.

x இன் எண் மதிப்பைப் பிரதியிடுவதன் மூலம் இச்சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்கலாம். 

x=-2 எனில், இடதுபக்கம் (L.H.S)  = x2 + 3x = (-2)2 + 3(-2)

= 4-6

= -2 = வலதுபக்கம் (R.H.S) 

ஆதலால், x =-2 எனும்போது இச்சமன்பாடு உண்மையாகும். 

x = -1 எனில், இடதுபக்கம்  = x2 + 3x = (-1)2 + 3(-1)

= 1-3

= -2 = வலதுபக்கம்

ஆதலால், x = -1 எனும்போது இச்சமன்பாடு உண்மையாகும். 

ஆனால் x =1 எனில், இடதுபக்கம் = x2 + 3x = (1)2 + 3(1)

= 1+3\= 4 ≠ வலதுபக்கம் 

ஆதலால், x = 1 எனும்போது இச்சமன்பாடு உண்மையல்ல. மேலும், x2 + 3x = -2 என்பது x இன் மதிப்புகள் -1 மற்றும் -2 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே உண்மையாகும். இவற்றிலிருந்து மாறியின் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் இச்சமன்பாடு பொருந்தாது என அறிகின்றோம்.

இப்போது, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 என்னும் இயற்கணிதச் சமன்பாட்டைக் கருதுக. கொடுக்கப்பட்ட மாறிகள் a மற்றும் b இன் மதிப்புகளுக்கு இவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்போம்.

a = 3 மற்றும் b = 5 எனும்போது, 

இடதுபக்கம் = (a+b)2 = (3+5)2 = 82 = 8 × 8= 64 

வலதுபக்கம் = a2 + 2ab + b2 = 32 + (2×3×5) + 52 = 9+30+25= 64 

எனவே, a= 3 மற்றும் b = 5 எனில், வலதுபுறம் = இடதுபுறம் 

இதேபோல், a = 4 மற்றும் b = 7 எனில், 

இடதுபக்கம் = (a+b)2 = (4+7)2 = 112 =121 

வலதுபக்கம் = a2 + 2ab + b2 = 42 +2×4×7+72 =16+56+49 = 121 

இப்போது, a = 4 மற்றும் b =7 எனில், இடதுபுறம் = வலதுபுறம்

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, a, b ஆகிய மாறிகளுக்கு எந்த மதிப்பைப் பிரதியிட்டாலும், இடதுபக்கமும் (L.H.S) வலதுபக்கமும் (R.H.S) ஒரே மதிப்பைப் பெறுவதை அறிகின்றோம். மாறியின் எந்த மதிப்புக்கும், சமநிலை மாறாத இத்தகைய சமன்பாடுகளை முற்றொருமை என்கிறோம். எனவே, (a+b)2= a2+2ab+b2 என்னும் சமன்பாடு ஒரு முற்றொருமை என அறிய முடிகிறது.

பொதுவாக, மாறியின் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தக்கூடிய இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள், முற்றொருமை எனப்படும். சில அடிப்படை இயற்கணித முற்றொருமைகளை அதன் வடிவக் கணித நிரூபணத்துடன் காண்போம்.

எங்கும் கணிதம் - அன்றாட வாழ்வில் அசமன்பாடுகள்