ஈருறுப்புச் செயல்கள் : மட்டு எண் கணிதம் (Modular Arithmetic)

மட்டு எண் கணிதம் (Modular Arithmetic)

இதுவரை வழக்கமான அடிப்படை இயற்கணித செயலிகள், அணிக் கூட்டல், அணிப் பெருக்கல், பூலியன் அணிகளின் இணைப்பு மற்றும் சந்திப்பு ஆகிய ஈருறுப்புச் செயலிகளின் பண்புகளைப் பற்றி விவாதித்தோம். இப்பிரிவில் 'மட்டு எண் கணிதம்' என்ற பிரிவில் ஒரு புதிய ஈருறுப்புச் செயலி பற்றி விவாதிப்போம். n > 1 ஒருமிகை முழு எண் என்க. இங்கு n என்பது மட்டு எண்' என அழைக்கப்படும்.

a, b ஆகிய இரண்டு முழுக்களுக்கு இடையேயுள்ள வித்தியாசம் n -ன் மடங்கு எனில், மட்டு n -ன் அடிப்படையில் a -ம் b - ம் ஒருங்கிசைவு உடையதாகும். இதனையே குறியீடுகள் மூலம், a = b(modn) எனக்குறிப்பிடுவர்.

இதன்படி a - b = n k, k ∈ ℤ மற்றும் a - ஐ n ஆல் வகுக்கும் பொழுது கிடைக்கும் மீதி b ஆனது மிகக் குறைந்த மிகை முழு எண் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 25 ≡ 4(mod7),-20 ≡ -2(mod3) ≡ 1(mod3) மற்றும் 15 ≡ 0(mod5),... மேலும் முழுக்களின் கணத்தை n ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதிக்கான சாத்தியக் கூறுகள் 0,1,2,...,n - 1 ஆகும். ℤ5ல்

[0] = { .. ., −15, −10, −5, 0, 5,10,15, … }

[1] = {… , −14, −9, −4,1, 6, 11, …}

[2] = {… , −13, −8, −3, 2, 7,12,…]

[3] = {…, −12, −7, −2, 3,8,13,…}

[4] = {… , −11, −6, −1, 4, 9,14,…}.

என்பவற்றை

ℤ5 = {[0],[1],[ 2],[3],[ 4]} . என எழுதலாம். ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் ஏதேனும் இரண்டு எண்கள் மட்டு 5க்கு ஒருங்கிசைவு உடையதாகும். குறை எண்கள் தொகுப்பில் இருக்கும். ஆனால் ℤ5  யை குறிக்க மிகை எண்களை உபயோகிக்கலாம்.

2007க்கு முன், மட்டு எண்கணிதமானது 10-இலக்க ISBN (சர்வதேச நிலையான தர புத்தக எண்/International Standard Book Number) எண் தொகுப்பில் பயன்படுத்தப்பட்டது. உதாரணமாக, கடைசி இலக்கமானது சமநிலை சோதனைக்கானது ஆகும். இது {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X} என்ற கணத்திலிருந்து கிடைக்கிறது. 81-7808-755-3 என்ற ISBN எண்ணில் கடைசி இலக்கமான 3 ஆனது பின்வருமாறு கிடைக்கப்பெறுகிறது. 

1*8+2*1+3*7+ 4*8+5*0+6*8 + 7*7+8*5+9*5 = 8+2+21+32 +0+48+49 +40+45 = 245 ≡ 3 (மட்டு 11).

மாற்றாக நிறையிட்ட கூடுதல் பின் திருப்புகை முறையில் கணக்கிடப்படுகிறது.

 9*8+8*1+7*7+6*8 +5*0+4*8+3*7+2*5+1*5 = 245 = 3 (மட்டு 11).

இரண்டு வழிகளிலும், நாம் ஒரே சரிபார்ப்பு (check) எண் 3 ஐப் பெறுகிறோம்.

2007-க்குப் பிறகு 13- இலக்க ISBN எண் பின்பற்றப்படுகிறது. (இடமிருந்து வலமாக) வலமிருந்து இடமாகத் தொடங்கும் முதல் 12 இலக்கங்களை 3, 1, 3, 1,. என்கிற நிறைகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. பின்னர் நிறையிட்ட கூடுதல் கணக்கிடப்படுகிறது. 10 -ன் அதிக மடங்கு எடுக்கப்படுகிறது. பின்னர் வித்தியாசம் கணக்கிடப்படுகிறது. அதன் கூட்டல் எதிர்மறை மட்டு 10 என்பது பதிமூன்றாவது இலக்கமாகும்.

உதாரணமாக, 978-81-931995-6-5 என்ற ISBN எண்ணைக் கருதுவோம். இதில் இடமிருந்து வலமாக 12 இலக்கங்களை எடுத்துக்கொள்வோம். 

இதில் இறுதி நிரையின் கூடுதல் 155 ஆகும். 10 -ன் மடங்குகளில் அருகிலுள்ள (உயர்) முழு எண் 160 ஆகும். 160-க்கும் 155-க்கும் உள்ள வித்தியாசம் 5 ஆகும். எனவே 5-ன் கூட்டல் எதிர்மறை மட்டு 10 - ஐ பொருத்து 5 ஆகும். இது ISBN எண்ணில் 13-வது இலக்கமாகும்.

மட்டு எண்கணிதத்தில், n ஐ விட குறைவான மிகை முழுக்களைக் கொண்ட கணம் ℤn -ன் மீது "n-ன் மட்டுக்கு கூட்டல் n( +n ) மற்றும் "n-ன் மட்டுக்கு பெருக்கல் n(×n ) ஆகிய புதிய இரண்டு செயலிகளை வரையறுப்போம்.

வரையறை 12.6

(i) n -ன் மட்டுக்கு கூட்டலானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. - a,b  ∈ ℤn என்க. பிறகு a + b ஐ n ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி a + nb

(ii) n -ன் மட்டுக்கு பெருக்கலானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

a,b ∈ ℤn., என்க. பிறகு a × b ஐ n ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி a + nb

எடுத்துக்காட்டு 12.9

மட்டுக் கூட்டல் 5 செயலி அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி கணம் ℤ5 -ன் மீது  +5 என்ற செயலிக்கு (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளைச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு

ℤ5 = {[ 0 ], [1], [2], [3], [4]} மட்டு 5 கூட்டல் செயலி அட்டவணை பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது. மீதிகளின் கணமானது {0,1,2,3,4} {[0],[1],[2],[3],[4]} என்ற தொகுப்பு அமைப்பைக் குறிக்கிறது.

(i) செயலி அட்டவணையில் உள்ள எல்லா வெற்றிடங்களும் ℤ5.-ன் சரியாக ஓர் உறுப்பு மூலம்நிரப்பப்பட்டிருந்தால் a+5 b -ன் விளைவு ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது. எனவே, +5  ஆனது ℤ5-ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது. 

(ii) அட்டவணையில் உள்ள பதிவுகள் முதன்மை மூலைவிட்டத்துடன் சமச்சீராக வைக்கப்பட்டுள்ளதால் +5 ஆனது பரிமாற்றுப் பண்புடையது. 

(iii) சேர்ப்புப் பண்பை சரிபார்ப்பதற்கு செயலி அட்டவணையை நேரடியாகப் பயன்படுத்தமுடியாது. எனவே, இதை வழக்கம்போல ஓர் எடுத்துக்காட்டின் மூலம் சரிபார்க்க வேண்டும். 

2,3,4 ∈ ℤ5, எனில், (2+5, 3) +5 4 = 0+5 4 = 4 (மட்டு 5) 

2+5 (3+5 4) = 2+5 2 = 4 (மட்டு 5) 

எனவே, (2+5 3) +5 4 = 2+5 (3+5  4).

 இது போன்று தொடர்ந்தால் எல்லா சாத்தியமான மும்மூன்று உறுப்புகளின் தொகுப்பிற்கும் இதை சரிபார்க்க முடியும். முடிவாக, +5 ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும் எனக்காட்டலாம். 

(iv) 0 தலைமையிலான நிரை மற்றும் நிரல் ஒரே மாதிரியானவை. எனவே, 0 ∈ ℤ5 என்பது சமனி உறுப்பாகும். 

(v) ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் சமனி உறுப்பு 0 உள்ளதால் எதிர்மறை உறுப்பு உறுதிசெய்யப்படுகிறது. எனவே, அட்டவணை 12.2-லிருந்து எதிர்மறைப் பண்பு உண்மை என்பது தெளிவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக

• ℤ5 -ன் உறுப்புகளில் ஏதேனும் ஓர் உறுப்பு ‘2' இன் எதிர்மறையைக் காணும் முறை கீழே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. 

• 2 தலைமையிலான III வது நிரையில் சமனி உறுப்பின் நிலையை முதலில் கண்டறியவும். III வது நிரையில் கிடைமட்டமாக நகர்ந்து 0 ஐ அடைந்த பிறகு IV வது நிரலில் 0 - க்கு மேலே நகரும்போது கிடைக்கும் 3-ஐதான் 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பாகக் கொள்வர். மேலும் இதற்கு அத்தாட்சியாக 2+3 = 0 (மட்டு 5) என்பதும் உண்மையாவதாகக் காணலாம். ஏனெனில், 0 ஆனது III வது நிரை மற்றும் IVவது நிரலை இணைக்கும் உறுப்பாகும். IV வது நிரலில் மிக உயர்ந்த நிலையில் கிடைக்கப்பெற்ற உறுப்பு 3 ஆகும். எனவே 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பு 3 ஐத் தவிர வேறில்லை. இதேவழியில் ℤ5 -ன் ஒவ்வோர் உறுப்பின் எதிர்மறையைப் பெறலாம். 

• இவ்வாறாக 0-ன் எதிர்மறை 0 ∈ ℤ5 1 -ன் எதிர்மறை 4 ∈ ℤ5  2-ன் எதிர்மறை 3 ∈ ℤ5 3-ன் எதிர்மறை 2 ∈ ℤ5, 4 -ன் எதிர்மறை 1 ∈ ℤ5 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.10

மட்டு 11ஐப் பொருத்து எச்சத் தொகுதிகளின் கணம் {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -இன் உட்கணம் A = {1,3,4,5,9} -ன் மீது ×11 என்ற செயலிக்கு (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு (V) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளைச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு

 ×11 என்ற செயலியின் செயலி அட்டவணை பின்வருமாறு.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் விவரித்தபடி ×11 என்ற செயலிக்கு A-ன் மீது பின்வரும் பண்புகளைச் சரிபார்த்தல் கீழ்க்கண்டவாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

(i) பெருக்கல் அட்டவணையில் உள்ள எல்லா வெற்றிடங்களும் A-ல் சரியாக ஓர் உறுப்பு மூலம்நிரப்பப்பட்டிருப்பதால் ×11, A -ன் மீது அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது. 

(ii) அட்டவணையில் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் முதன்மை மூலைவிட்டத்திற்கு சமச்சீராகஇருப்பதால், ×11 பரிமாற்றுப் பண்புடையதாகும். 

(iii) ×11  என்பது வழக்கமாக சேர்ப்புப் பண்புக்கு கட்டுப்படும். 

(iv) 1 தலைமையிலான நிரை மற்றும் நிரல் ஒரே மாதிரியானவை. எனவே, 1 ∈ A என்பது சமனி உறுப்பாகும். 

(v) ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் சமனி உறுப்பு 1 இருப்பதால் எதிர்மறைப் பண்பு ×11-க்கு உண்மையாகிறது. 1 -ன் எதிர்மறை 1∈ A, 3 -ன் எதிர்மறை 4 ∈ A , 4-ன் எதிர்மறை 3∈ A, 5 -ன் எதிர்மறை 9 ∈ A, 9-ன் எதிர்மறை 5 ∈ A ஆகும்.