ஈருறுப்புச் செயலியின் மேலும் சில பண்புகள் (Some more properties of a binary operation)

ஈருறுப்புச் செயலியின் மேலும் சில பண்புகள் (Some more properties of a binary operation) 

பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative property)

ஒரு வெற்றற்ற கணம் S -ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி * ஆனது பரிமாற்றுத் தன்மையுடையதாயின் ஒவ்வொரு a, b ∈ S - க்கும் a * b = b * a, என்பது உண்மையாக வேண்டும். 

சேர்ப்புப் பண்பு (Associative property)

ஒரு வெற்றற்ற கணம் S -ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி * ஆனது சேர்ப்புப் பண்பு உடையதாயின் a* (b * c) = (a*b)*c, ∀a, b, c ∈S என்பது உண்மையாகவேண்டும்.

சமனிப் பண்பு (Existence of Identity property)

* என்ற ஈருறுப்புச் செயலியின் கீழ் e ∈S என்பது S -ன் சமனி உறுப்பு எனில் ∀a ∈S, a*e = a மற்றும் e*a = a என்பதை நிறைவு செய்யும். 

எதிர்மறைப் பண்பு (Existence of inverse property)

S-ல் e எனும் ஒரு சமனி உறுப்பு இருந்தால் ∀a ∈ S ∃ b ∈ S, ∃a*b = e மற்றும் b* a = e எனில், b ∈ S என்பது a -ன் நேர்மாறு உறுப்பு அல்லது எதிர்மறை உறுப்பு எனப்படும். இதை நாம் b = a-1என எழுதலாம். 

குறிப்பு

a-1ஆனது S-ல் ஒரு உறுப்பாகும். a-1 -ஐ a-ன் எதிர்மறை என்று கூறலாமேயன்றி 1/a என்று கூற இயலாது. 

குறிப்பு 

(i) 1 ∈ ℤ என்பது ஒரு பெருக்கல் சமனி. ℤ-ல் ஒரே ஓர் உறுப்புதான் இத்தன்மையைப்பெற்றிருக்கும். இவ்வுறுப்பு n ⋅ 1 = 1⋅ n = n, ∀n ∈ ℤ. என்ற பண்பை நிறைவு செய்யும். 

(ii) ஓர் உறுப்பின் பெருக்கல் எதிர்மறையை விளக்க எடுத்துக்காட்டாக, 2 ∈ℚ -ன் பெருக்கல்எதிர்மறை 1/2 ∈ ℚ ஆகும். x = 1/2 தவிர வேறு எந்த எண்ணும் 2. x = x . 2 = 1, 0 ≠ x ∈ Q என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் பண்பை பெற்றிருக்காது. 

குறிப்பு

ஒரு கணிதக் கூற்றில் 'ஒவ்வொன்றுக்கும்' அல்லது அனைத்திற்கும்' என்பதை தொடர்புபடுத்தும்பொழுது அது ஒவ்வொரு சோடி அல்லது மூன்று உறுப்புகளுக்கும் நிரூபிக்கப்படவேண்டும். ஒவ்வொரு சோடி அல்லது மூன்று உறுப்புகளுக்கு நிரூபிப்பது என்பது அவ்வளவு எளிதல்ல. ஆனால் இந்த வகையான நிலைமைகளில் இக்கூற்றின் மறுப்பை நிரூபிப்பது சாலச் சிறந்தது. அதாவது “ஒவ்வொன்றுக்கும்” அல்லது “அனைத்திற்கும்” என்பதன் மறுப்பானது "அங்கே உளது (அ) இருத்தல்" என்பதற்கு ஒப்ப ஒரு சோடி அல்லது மூன்று உறுப்புகளாக எடுத்துக் கொண்ட கூற்றை மறுக்குமாறு உருவாக்க முயற்சிக்கலாம். அவ்வாறு காண இயலுமாயின், தரப்பட்டக் கூற்று சரியானது அல்ல என்பது முடிவாகும். 

சமனி மற்றும் எதிர்மறை உறுப்புகளின் ஒருமைத்தன்மை சார்ந்த வினாக்கள் ஆராயப்படவேண்டும்.பின்வரும் கோட்பாடுகள் மேலே குறிப்பிட்ட முடிவுகளை மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில் நிரூபிக்கின்றன. 

தேற்றம் 12.1 (சமனி உறுப்பின் ஒருமைத்தன்மை

ஓர் இயற்கணித அமைப்பில் சமனி உறுப்பானது (உளது எனில்) ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது.

நிரூபணம்

(S,*) என்பது ஓர் இயற்கணித அமைப்பு என்க. * ஐ பொருத்து S -ன் சமனி உறுப்பானது S -ல் உள்ளது எனக் கொள்க. மேலும் ஒரே ஒரு சமனி உறுப்பு மட்டுமே உள்ளது என நிரூபிக்க.

S-ன் சமனி உறுப்புகள் e1 , e2 என இருப்பதாகக் கொள்வோம். 

முதலில் e1 ஐ சமனி உறுப்பாகவும், e2ஐ S -ன் உறுப்பாகவும் எடுத்துக்கொண்டால்

e2 ∗ e1 = e1 ∗ e2 = e2 .    ... (1)

பிறகு e2 ஐ சமனி உறுப்பாகவும், e1ஐ S -ன் உறுப்பாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், 

e1 ∗ e2 = e2 ∗ e1 = e1 .         …(2) 

(1), (2) -லிருந்து, e1 = e2 எனவே, சமனி உறுப்பு ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது.

தேற்றம் 12.2 (எதிர்மறை உறுப்பின் ஒருமைத்தன்மை )

ஓர் இயற்கணித அமைப்பில் ஓர் உறுப்பின் எதிர்மறை (இருப்பின்) ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது.

நிரூபணம்

(S, *) என்பது ஓர் இயற்கணித அமைப்பு என்க. மேலும் a ∈ S என்க. a -ன் எதிர்மறை S -ல் உள்ளது எனக் கொள்க. S-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் ஒரே ஒரு எதிர்மறை உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும். மேலும் S -ல் எதிர்மறை உறுப்பு இருந்தால் அதில் சமனி உறுப்பு e உறுதியாக இருக்கும்.

a ∈ S என்க. S -ல் உள்ள உறுப்பு a -ற்கு ஒரே ஒரு எதிர்மறை உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும் என நிரூபிக்க.

a -ன் எதிர்மறை உறுப்புகள் a1, a2, என்ற இரு உறுப்புகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம்.

 a1, ஐ a -ன் எதிர்மறையாகக் கொள்வோமாயின் a* a1 = a1 *a = e……(1) 

a2 ஐ a -ன் எதிர்மறையாகக் கொள்வோமாயின் a* a2 = a2 * a = e….(2) 

a1 = a1 ∗ e = a1 ∗ ( a ∗ a2 )  ((2) -ன்ப டி) 

= (a1 ∗a) a2(சேர்ப்புப் பண்பின்படி) 

= e* a2,((1) -ன்ப டி)

= a2 (சமனிப்பண்பின்படி)) 

⇒ a1 = a2 எனவே, S -ல் உள்ள உறுப்பு a -ற்கு ஒரே ஒரு எதிர்மறை உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும் என்று அறியலாம். 

குறிப்பு

தேற்றம் 12.1 மற்றும் 12.2-இன் உண்மையான ஒருமைத்தன்மையை விரிவாக மேற்படிப்பில் தெரிந்து கொள்ளலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 12.2

ℤ என்ற கணத்தில் '+' என்ற ஈருறுப்புச் செயலி கொண்டு (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளைப் பெற்றுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு

(i) m + n ∈ ℤ, ∀m, n ∈ ℤ. எனவே, ' + ' ஆனது, ℤ-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

(ii) மேலும் m + n = n + m, ∀m, n ∈ ℤ. எனவே, பரிமாற்றுப் பண்பு உண்மையாகும். 

(iii) ∀m, n, p ∈ ℤ, m + ( n + p) = ( m + n) + p  எனவே, சேர்ப்புப் பண்பு உண்மையாகும். 

(iv) m + e = e + m = m ⇒ e = 0.எனவே, ∃ 0 ∈ ℤ ⋺ ( m + 0) = ( 0 + m) = m .எனவே சமனிப்பண்புஉள்ளது.

 (v) m + m ' = m '+ m = 0 ⇒ m ' =− m. 

எனவே, ∀m ∀m ∈ ℤ, ∃ − m ∈ ℤ ⋺ m + ( − m) = ( − m ) + m = 0 எனவே, எதிர்மறைப் பண்பும் உள்ளது. இவ்வாறாக, கூட்டல் செயலி + ஆனது, ℤ -ன் மீது மேற்கண்ட ஐந்து பண்புகளை நிறைவு செய்யும். கூட்டல் சமனி = 0 மற்றும் ஏதேனும் ஒரு முழு எண் m-ன் கூட்டல் எதிர்மறை –m என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம். 

எடுத்துக்காட்டு 12.3

ℤ -ன் மீது இயற்கணித செயலி’ - ' ஆனது

(i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளை கொண்டுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு 

(i) கழித்தல் '-' ஆனது ℕ ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்ல. ஆனால் ℤ ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகும். எனவே, மேலும் சில பண்புகளை '-' என்ற ஈருறுப்புச்செயலியைக் கொண்டு ℤ ன் மீது எளிதான மதிப்புகளுக்குச் சரிபார்ப்பது நல்லது. 

(ii) m = 4 , n = 5 எனில், (m-n) = (4-5) = -1 மற்றும் (n - m) = (5-4) =1. இங்கு (m-n) ≠ (n-m) எனவே, '-' ஆனது ℤ -இன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவுசெய்யாது.

 (iii) (m-n)- p மற்றும் m-(n- p) போன்றவற்றில் m = 4, n = 5 மற்றும் p =7 என்ற

(m-n) - p = (4-5)-7 = (-1-7) = -8 மற்றும்…..(1)

 m-(n-p) = 4 - (5-7) = (4+2) = 6…….(2)

(1), (2) -லிருந்து (m-n)-p ≠ m-(n-p).

எனவே, '-' ஆனது ℤ -ன் மீது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது. 

(iv) சமனி உறுப்பு இல்லை . (ஏன்?)

(v) எதிர்மறை உறுப்பு இல்லை (ஏன்?) 

எடுத்துக்காட்டு 12.4

ℤe ன் மீது + என்ற ஈருறுப்புச் செயலி (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப் பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளை பெற்றுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க. இங்கு ℤe = அனைத்து இரட்டை முழுக்களின் கணம்.

தீர்வு

ℤe = {2 k | k ∈ ℤ} = {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6,...}. என்ற இரட்டை முழுக்களின் கணத்தைக் கருதுக. ℤe  -ன் மீது கூட்டலின் ‘+’ என்ற ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்டு பின்வரும் பண்புகளைச் சரிபார்க்கலாம். 

(i) ஏதேனும் இரண்டு இரட்டை முழுக்களின் கூடுதல் ஓர் இரட்டை முழு எண் ஆகும்.ஏனெனில், x, y ∈ ℤ ⇒ x = 2m மற்றும் y = 2n, m, n ∈ ℤ. எனவே,(x+y) = 2m + 2n = 2 (m+n) ∈ ℤ. எனவே,  ℤ, -ன் மீது '+’ ஆனது அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது. 

(ii) ∀x , y ∈ ℤe , ( x + y) = 2( m + n) = 2( n + m) = ( 2 n + 2m) = ( y + x) .

எனவே, + ஆனது பரிமாற்று விதியை நிறைவு செய்கிறது. 

(iii) இதேபோல், ∀x , y, z ∈ ℤe , ( x + y) + z = x + ( y + z). எனவே, சேர்ப்பு விதியும் உண்மையாகிறது.

(iv) x = 2k எனக் கொள்க . 2k + e = e + 2k = 2k ⇒ e = 0.

எனவே, ∀ x ∈ ℤe , ∃0 ∈ ℤe ⋺ x + 0 = 0 + x = x . ஆகையால், 0 சமனி உறுப்பாகும். 

(v) x = 2k என எடுத்துக்கொண்டால், இதன் எதிர்மறை x' ஆனது பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது.

2k +x' = 0 = x'+ 2k ⇒ x'=-2k. அதாவது x' = -x. 

எனவே, ∀x ∈ ℤe , ∃ − x ∈ ℤe ⋺ x + ( −x) = ( −x ) + x = 0 

எனவே, -x என்பது x -ன் எதிர்மறை ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 12.5

ℤo = அனைத்து ஒற்றை முழுக்களின் கணம் எனில் ℤo -ன் மீது இயற்கணித செயலி + ஆனது (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப்பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப்பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவற்றைப் பெற்றுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க. 

தீர்வு

ℤo = {{2 k +1: k ∈ ℤ} = {..., −5, −3, −1, 1, 3, 5,...}  என்ற அனைத்து ஒற்றை முழுக்களைக் கொண்ட கணத்தைக் கருதுக. கூட்டல் + ஆனது ℤo -இன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. ஏனெனில், x = 2m +1, y = 2n + 1 எனும்பொழுது x + y = 2(m +n) + 2 என்பது அனைத்து m, n -க்கும் இரட்டை எண்ணாகவே அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, 3,7 ∈ ℤo என்ற இரு ஒற்றை எண்களைக் கருதுக. அவைகளின் கூடுதல் 3 + 7 = 10 என்பது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும். பொதுவாக, x, y ∈ ℤo, எனில், (x+y) ∉ ℤo, ஆகும். + ஆனது ℤo ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்லாததால் ஏனையப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 12.6

கொடுக்கப்பட்ட கணத்தின்மீது பின்வரும் செயலியானது (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு மற்றும் (iii) சேர்ப்புப் பண்பு ஆகியவைகளைக் கொண்டுள்ளதா எனச் சரிபார்க்க.

(a ∗ b) = ab ; ∀a, b ∈ ℕ (அடுக்குக்குறி பண்பு) 

தீர்வு

(i) a ∗ b = a b ∈ ℕ; ∀a, b ∈ ℕ. என்பது உண்மை . எனவே ℕ ஆனது * -ன் கீழ் அடைவு பெற்றுள்ளது. 

(ii) a = 2, b = 3 ஆகிய மதிப்புகளை a * b = a b மற்றும் b * a = ba ஆகியவைகளில் பிரிதியிட, a * b = 23 = 8 ஆனால் b * a = 32 = 9 ⇒ a*b ≠ b*a

எனவே * ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது. 

(iii) a*(b*c) = a* (bc) = abc) எனக் கொள்க.

இதில் a = 2, b = 3 மற்றும் C = 4 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது 

a* (b*c) = 2* (3*4)= 234 = 281

ஆனால் (a*b)* c =(ab) *c =(ab) c = a(bc) = abc = 2 12

a* (b*c)  ≠  (a*b)*c

எனவே, * ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

 குறிப்பு

இந்த ஈருறுப்பு செயலிக்கு சமனியும் எதிர்மறையும் இல்லை . (காரணத்துடன் விளக்குக) 

எடுத்துக்காட்டு 12.7

கொடுக்கப்பட்ட கணத்தின்மீது பின்வரும் செயலானது (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனிப்பண்பு மற்றும் (v) எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவைகளைப் பெற்றிருக்குமா எனச் சரிபார்க்க.

m*n = m + n - mn; m, n∈ℤ

தீர்வு

(i) m+n - m n -ன் விளைவு ஆனது ஒரு முழு எண் என்பது தெளிவாகிறது. எனவே * ஆனது ℤ -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது. 

(ii) m ∗ n = m + n − m n = n + m − nm = n ∗ m, ∀m, n ∈ ℤ. எனவே, * ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது. 

(iii) (m*n)* p = (m+n- mn)* p = (m+n - mn) + p - (m+n-mn)p

= m*n = m + n-mn = n + m - nm = n*m, ……(1)

இதேபோன்று , m* (n*p) = m* (n + p - np) 

= m + (n + p - np) - m(n + p - np) 

= m + n + p – np – mn – mp + mnp ….(2)

(1) மற்றும் (2) -லிருந்து m* (n*p) = (m*n) * p. எனவே * ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது. 

(iv) e என்ற ஒரு முழு எண்ணை m*e = e*m = m, ∀m ∈ℤ என்றவாறு காண வேண்டும்.ஆகவே , m * e = m ⇒ m + e – me = m ⇒ e (1-m) = 0 ⇒ e = 0 ஏனெனில் m =1. இங்கு , m ஆனது ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் என்பதால் m = 1 என இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை . எனவே e = 0 மட்டும்தான் இருக்கமுடியும். மேலும் m * 0 = 0 * m = m, ∀m ∈ ℤ. எனவே 0 என்பது சமனி உறுப்பாகும். எனவே சமனிப் பண்பு உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. 

(v) m’∈ ℤ என்ற ஓர் உறுப்பை m ∗ m′ = m′ ∗ m = e = 0, ∀m ∈ ℤ. என்றவாறு காணவேண்டும். m ∗ m′ = 0 ⇒ m + m′ − m m′ = 0 ⇒ m′ = m / m-1 m = 1 எனும்போது m'ஐ வரையறுக்கமுடியாது. 

m = 2 எனும் பொழுது m' ஒரு முழு எண் ஆனால் m = 2 தவிர m -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் m' ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கத்தேவையில்லை. எனவே, ℤ-ல் எதிர்மறை உறுப்பு அமையாது.