பூலியன் அணிகள் மீது சில ஈருறுப்புச் செயல்கள் (Some binary operations on Boolean Matrices)

பூலியன் அணிகள் மீது சில ஈருறுப்புச் செயல்கள் (Some binary operations on Boolean Matrices)

 வரையறை 12.3

ஒரு மெய் அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் அத்தகைய அணி பூலியன் அணி எனப்படும்.

குறிப்பாக பூலியன் பதிவுகளான 0 மற்றும் 1, பல்வேறு விதங்களில் வரையறுக்கமுடியும். மின்சார ஓட்டத்தை நிறுத்த அல்லது ஓடச் செய்யும் சாதனத்தில் "ஓடச் செய்தல் மற்றும் நிறுத்துதல்" என்பதனையும், வரைக்கொள்கையில், சேர்ப்பு அணி போன்ற பல இடங்களில் பூலியன் பதிவுகள் 0 மற்றும் 1 பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நாம் அதே வகை பூலியன் அணிகளை விவாதத்திற்கு எடுத்துக் கொள்வோம்.

பூலியன் அணிகளின் தொகுப்பின் மீது பின்வரும் இரு வகையான செயற்பாடுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

A = [aij] மற்றும் B = [bij] என்ற ஒரே வகையான ஏதேனும் இரு பூலியன் அணிகள் என்க. அவைகளின் இணைப்பு v மற்றும் சந்திப்பு ∧ என்றுக் குறிக்கப்பட்டு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரையறை 12.4 A மற்றும் B-ன் இணைப்பு

A ∨ B =  [aij] ∨ [bij] = [aij ∨ bij] = [cij] 

வரையறை 12.5 A மற்றும் B-ன் சந்திப்பு

 A ∧ B = [aij] ∧ [bij] = [aij ∧ bij] = [cij]

மேற்கூறியவற்றிலிருந்து , (avb) = {a,b} இல் பெரியது; (a ∧ b) = {a,b} இல் சிறியது என்பது விளங்கும் a,b∈{0,1}

எடுத்துக்காட்டு 12.8

   ஆகிய இரண்டும் ஒரே வகையான பூலியன் அணிகள் எனில், A∨B மற்றும் A∧B ஆகியவற்றைக் காண்க. 

தீர்வு

இணைப்பு மற்றும் சந்திப்பு நிறைவு செய்யும் பண்புகள்

B என்பது ஒரே வகையான பூலியன் அணிகளின் தொகுப்பு என்க. இணைப்பு மற்றும் சந்திப்பு B-ன் மீது நிறைவு செய்யக்கூடிய பண்புகளைக் காண்போம் 

அடைவுப் பண்பு

A, B ∈ B, A ∨ B = [ aij ] ∨ [bij ] = [ aij ∨ bij ] ∈ B. 

ஏனெனில், ( aij ∨ bij ) = 0 அல்லது 1 ∀i , j .  எனவே V என்பது B -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.

சேர்ப்புப் பண்பு

A∨(B∨C) = (A ∨ B) ∨ C, ∀A,B,C ∈ B. எனவே, V என்பது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

சமனிப் பண்பு

∀A ∈ B, ∃ பூச்சிய அணி 0 ∈  B ⋺ A ∨ 0 = 0 ∨ A = A .v-க்கு சமனி உறுப்பு பூச்சிய அணி ஆகும். 

எதிர்மறைப் பண்பு

எந்த ஓர் அணி A ∈ B,-க்கு, AV B = BV A = 0 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்படி B EB என்ற நேர்மாறு அணியைக் காணமுடியாது.

எனவே, எதிர்மறை உறுப்பு B -ல் இருக்காது. இதுபோலவே, சந்திப்பு ∧ என்ற செயலி ஆனது பின்வருபவைகளை நிறைவு செய்யும் என்பதை சரிபார்க்கமுடியும். (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனி உறுப்பு   என்ற அணி ஆகும் (v) எதிர்மறை உறுப்பு இருப்பதை உறுதிப்படுத்த முடியாது.