வகை நுண்கணிதம் வகைமை மற்றும் வகையிடல் முறைகள் DIFFERENTIABILITY AND METHODS OF DIFFERENTIATION

அத்தியாயம் 10

வகை நுண்கணிதம் வகைமை மற்றும் வகையிடல் முறைகள்

DIFFERENTIABILITY AND METHODS OF DIFFERENTIATION

"தேவையானதை எடுத்துக் கொள், செய்வன செய், அடையவேண்டியதை அடைவாய்” – லிபினிட்ஸ்

அறிமுகம் (Introduction)

இப்பாடப்பகுதியில் வகைக்கெழுக் கருத்தியலைப் பற்றியும், அதன் தொடர்பான இதர கருத்துகளையும் ஆராய்வதன் மூலம் அன்றாட வாழ்க்கையில் சந்திக்கும் சவால்களுக்குத் தீர்வுக் காண இயலும். இதன் தொடர்ச்சியாக திசைவேகத்தின் சராசரியைக் கீழ்க்காணும் உதாரணத்தின் மூலம் காண்போம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தினைக் கடக்க உள்ளுணர்வு மூலம் திசைவேகம் அல்லது வேக வீதத்தினைப் பயன்படுத்தும் இயல்பு பொதுவாக அனைவரிடமும் உள்ளது. சான்றாக ஒரு மணி நேரத்தில் ஒரு பேருந்து 60 கி.மீ. தூரத்தினைக் கடந்தால் அப்பேருந்தின் சராசரித் திசைவேகம் மணிக்கு 60 கி.மீ. என அமையும். ஆனால் பயணத் தூரம் முழுவதும் 60 கி.மீ. எனச் சீரான வேகத்திலேயே பேருந்தினை இயக்க இயலாது. ஏனெனில் நகர்ப்புறங்களில் சற்றே வேகத்தினை குறைக்கவும் பிற வாகனங்களைக் கடக்கும்போது வேகத்தினைக் கூட்டவும் வேண்டும். வேறு சொற்களில் சொல்வதென்றால், நேரத்தினைப்பொறுத்துத் திசைவேகம் மாறும் எனலாம்.

ஒரு போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் அட்டவணைப்படி ஒரு பேருந்து ஓர் ஊரிலிருந்து மற்றோர் ஊருக்குச் செல்ல ஒரு மணி நேரத்தில் 60 கி.மீ. கடக்க வேண்டுமெனில் பேருந்தின் பயணப்பாதையில் ஆங்காங்கே ஏற்படும் நேர விரயத்தினையும், வேகக் குறைவினையும் ஏனைய இடங்களில் ஈடுசெய்ய வேண்டும் என்பதனை ஓட்டுநர் உணர்ந்தே பேருந்தினை இயக்குகிறார். சராசரித் திசைவேகம் மணிக்கு 60 கி.மீ. என்று அறிந்திருந்தாலும், ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் பேருந்தின் திசைவேகம் என்னவென்பதற்கு விடையாக அமையாது.

பொதுவாக, சராசரித் திசைவேகம் அல்லது நகரும் பொருளின் சராசரி வேகம் என்பது இடப்பெயர்ச்சியின் நேர வீதம் என்பது கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

vave  = பயண தூரம் / பயண நேரம்

ஒரு 10 கி.மீ பந்தயத் தூரத்தினை ஓர் ஓட்டப் பந்தய வீரர் நிறைவு செய்ய எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 1 மணி 15 நிமிடங்கள் (1.25 மணி) எனக் கருதுவோம்.

இந்த ஓட்டப் பந்தயத்தில் அவருடைய சராசரித் திசைவேகம் அல்லது சராசரி வேகம்

vave = 10/1.25 = 8 கி.மீ. / மணி என்பதாகும்.

பந்தயத்தூரத்தின் பாதித்தூரத்தினைக் கடக்கும் தருணத்தில் ஓடுபவரின் வேகம் v-யினைத் துல்லியமாகக் கணக்கிட வேண்டும் எனக் கருதுவோம். 0 மணியிலிருந்து 0.5 மணிக்குள் உள்ள நேர இடைவெளியில் உள்ள தூரம் 5 கி.மீ. எனில், vave = 5/0.5  கி.மீ/மணி ஆகும்.

அதே சமயம், அரை மணி நேரத்தில் ஓடுபவரின் வேக வீதத்திற்கான கணநேர வீதம் v-ஐ சிறந்த குறியீடாக மேற்கண்ட விடையை எடுத்துக் கொள்ள இயலாது. தொடக்க இடத்திலிருந்து 5.7 கி.மீ தூரத்தில் 0.6 மணியில் இருக்கிறார் எனத் தீர்மானித்தால், 0 மணியிலிருந்து 0.6 மணி வரையுள்ள சராசரி வேகம் vave = 5.7/0.6 – 0.5 = 7 கி.மீ./மணி ஆகும்.

கடைசியாகப் பெறப்பட்ட v-ன் மதிப்பை சற்றேறக்குறையச் சரியான மதிப்பீடாகக் கருதலாம். இக்கால இடைவெளியை 0.5 மணிக்குள் ‘குறைப்பதன் மூலமும்' அதற்கேற்ப 5 கி.மீ. தூரத்திற்கு ஒப்ப நேர அளவீட்டையும் கணக்கிடும்போது ஓடுபவரின் வேகத்தினை அரைமணியில் மேலும் சிறப்பான தோராய மதிப்பீடுகளைத் தர இயலும்.

திசைவேகத்தினைக் கணக்கிடுவது என்பது y = ƒ(x) எனும் பொதுவான பகுமுறைச் சார்பினது கணித மாதிரியின் வகையிடுதலைக் கணக்கிடுவதற்கு இட்டுச் செல்கிறது. அதன் விளைவாக கீழ்க்காணும் குறிக்கோள்களையும், தொடர்ச்சியாக வகையிடுதலின் பகுப்பாய்வினைப் பற்றியும் காண்போம்.

கற்றலின் நோக்கங்கள்

இப்பாடப்பகுதி நிறைவுறும்போது மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டியவைகளாக

• பின்னங்களின் எல்லையாக வகையீட்டினை அறிதல்

• வடிவியல் ரீதியாக வகையீட்டினைக் காணுதல்

• மாற்றங்களின் அளவீட்டுச் செயலாக வகையீட்டினைப் புரிந்து கொள்ளுதல்

• வளைவரைகளின் மீதான தொடுகோடுகளின் சாய்வாகவும்/மாறுவீதம் ஆகவும் வகையீட்டினை உணர்ந்து கொள்ளுதல்

• வகையிடுதலின் பல்வேறு முறைகளை அறிந்து கொள்ளுதல்

• அன்றாட நிகழ்வுகளின் தீர்வுகளுக்குக் கருவியாக வகை நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துதல். ஆகியவை எதிர்பார்க்கப்படுகின்றன.