சார்பின் வகைக்கெழு அல்லது வகையிடல் (The derivative of a Function) - வகையிடுதலின் கருத்தாக்கம் (The concept of derivative)

சார்பின் வகைக்கெழு அல்லது வகையிடல் (The derivative of a Function)

இப்போது நாம் நுண் கணிதத்தின் மிக முக்கியமான தருணத்திற்கு வந்துள்ளோம். எல்லை மூலமாகத் தொடுகோட்டின் சாய்வை வரையறுத்தல் அல்லது எல்லை மூலமாகத் தடையின்றி விழும் பொருளின் கணநேரத் திசைவேகத்தினைக் காணுதல், என்பது வகை நுண்கணிதத்தில் உள்ள இரு அடிப்படைச் செயல்பாடுகளில் ஒன்றான வகையிடல் ஆகும்.

வரையறை 10.2

x0 என்ற புள்ளி அமைந்துள்ள ஒரு திறந்த இடைவெளியான I ⊆ ℝ -ல் ƒ என்ற சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்   என்பது கிடைக்கப்பெறும் என்க.

இப்போது ƒ என்பது x0 -ல் வகையிடத்தக்கது எனவும், x0 -ல் ƒ-ன் வகைக்கெழு என்பது ƒ'(x0) எனக் குறிக்கப்பட்டு பின்வருமாறு அமைகிறது.

இந்த எல்லையானது கிடைக்கப்பெறும் அனைத்து x -ன் மதிப்புகளுக்கும் என்பது x -ன் சார்பாக அமையும்.

x -ஆல் ஆன சார்பின் வகைக்கெழுவும் x-ஆல் ஆன சார்பாக அமைவதை உறுதி செய்ய முடியும். இந்தப் “புதிய சார்பு” (x,ƒ(x)),எனும் புள்ளியில் ƒ என்ற வளைவரையின் தொடுகோட்டின் சாய்வினைக் கொடுப்பதாக அறியலாம். (அந்தப் புள்ளியில் தொடுகோட்டை வரைய முடியுமெனில்)

ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையினை வகையிடல் என அழைக்கிறோம். ஒரு சார்பு x-ல் வகையிடத்தக்கதாக (வகைமையாக) இருக்க, x-ல் அதன் வகைக்கெழு இருத்தல் வேண்டும். மேலும் திறந்த இடைவெளியான (a, b)-ல் வகைமையாக இருக்க வேண்டுமாயின் (a,b)-ல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வகைமையாக இருத்தல் வேண்டும்.

y = ƒ(x)-ன் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க, ƒ' (x) "ƒ prime of x” அல்லது “ƒ dash of x” என்பது மட்டுமன்றி பிற குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றில் சில,

அல்லது Dy அல்லது y1. இங்கு d/dx அல்லது D என்பது வகையிடல் செயலி ஆகும்.

இங்கு dy/dx என்பதை “dy - dx”, அல்லது “Dee y Dee x” அல்லது “Dee Dee x of y” எனவும் படிக்கலாம். இக்குறியீடு ஒரு பின்னத்தை குறிக்காது என்பதை நினைவில் நிறுத்தவும்.

dy / dx என்ற குறியீட்டினை லிபினிட்ஸ் குறியீடு என்பர்.