நேர் மற்றும் எதிர் விகிதங்கள்

இயல் 4

நேர் மற்றும் எதிர் விகிதங்கள் 

கற்றல் நோக்கங்கள்

• விகிதம், விகிதச்சமம் பற்றிய கருத்துகளை நினைவுகூர்தல்.

• நேர், எதிர் விகிதங்கள் பற்றிய கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்.

• நேர் விகிதம், எதிர் விகிதத்தை வேறுபடுத்திக் காட்டுதல். 

• நேர், எதிர் விகிதத்தைப் பயன்படுத்திக் கணக்குகளுக்குத் தீர்வுகாணுதல்.

மீள்பார்வை 

விகிதம் மற்றும் விகிதச்சமம்

ஆறாம் வகுப்பில் நாம் படித்த விகிதம் மற்றும் விகிதச்சமத்தைப் பற்றி இப்பொழுது நினைவு கூர்வோம்.

விகிதம் என்பது ஒரே வகையான இரு அளவுகளின் ஒப்பீடு ஆகும். 'a' என்ற அளவை 'b' என்ற அளவுடன் ஒப்பீடு செய்தால் அதனை a : b என விகிதமாக எழுதலாம்.

இரண்டு விகிதங்களான a : b, c : d ஆகியவை சமமாக இருந்தால் அவை விகிதச்சமத்தில் உள்ளன. இதனை a இக்கு b போல C இக்கு d என்று கூறலாம். மேலும், அதனை a : b: : c : d எனக் குறிப்பிடலாம். a : b: : c: d என்ற விகிதச்சமத்தில் கோடி உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனும், நடு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனும் சமம். அதாவது bc = ad.

இவற்றை முயல்க 

1. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் வட்டத்திற்கும் சதுரத்திற்கும் இடையேயுள்ள விகிதம் என்ன ?

வட்டங்களின் எண்ணிக்கை : சதுரங்களின் எண்ணிக்கை

 4:6

2 ஆல் வகுக்கவும் 

 2:3

2. விகிதம் காண்க 

(i) 555 கிராமுக்கு 5 கிலோகிராம் 

(ii) 21 கி.மீக்கு 175 மீ. 

(i) 555 கி to 5 கிகி

555 : 5000

5 ஆல் வகுக்கவும் 

111 : 1000

(ii) 21 கிமீ to 175 மீ

21000 : 175

25 ஆல் வகுக்கவும் 

840 : 7

3. பின்வரும் விகிதச்சமங்களில் 'x' இன் மதிப்பைக் காண்க. 

 (i) 110: x : : 8 : 88 (ii) x : 26 : : 5 : 65

(i) 110 : x : : 8 : 88

bc = ad

 x  ×  8 =110  ×  88

 x = [ 110 × 88 ]  / 8 = 1210 

x = 1210

(ii) x : 26 : : 5 : 65

 x × 65 = 26 × 5

 x = [ 26 × 5 ] / 65 = 2

 x = 2

அறிமுகம்

நம்முடைய அன்றாட வாழ்க்கைச் சூழலில் பல நிகழ்வுகளில் ஒரு பொருளில் ஏற்படும் மாற்றம், அதனோடு தொடர்புடைய மற்றொரு பொருளிலும் மாற்றத்தை ஏற்படுத்துவதை நாம் பார்க்கிறோம். அத்தகைய சூழலைத் திறம்படக் கையாள உதவும் விகிதங்களைப் பற்றிக் கூடுதல் கருத்துகளைத் தெரிந்துகொள்வோம். மாறல் பற்றிய கருத்தைப் புரிந்துகொள்ளப் பின்வரும் சூழலை உற்று நோக்குவோம்.

ஒரு பள்ளியைச் சுத்தம் செய்யும் சூழலைப் பார்போம் 

(i) அதிக எண்ணிக்கையில் மாணவர்கள் வேலை செய்தால் சுத்தம் செய்ய ஆகும் நேரம் குறைவாகும்.

(ii) மாணவர்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும் போது, அவர்கள் செய்யும் வேலையின் அளவும் அதிகரிக்கும். 

சூழல் ஒன்றில் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையானது நேரத்துடன் ஒப்பீடு செய்யப்பட்டுள்ளது. சூழல் இரண்டில் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையானது அவர்கள் செய்த வேலையின் அளவோடு ஒப்பீடு செய்யப்பட்டுள்ளது. ஒப்பீடு செய்ய எடுத்துக்கொண்ட இரு அளவுகளும் மாறலின் வகையை நிர்ணயம் செய்கின்றன.

சூழல் 1 மணிமாலா, அவளது குடும்பத்தில் உள்ள 4 நபர்களுக்குக் காய்கறி சூப் தயாரித்துக் கொண்டிருக்கிறாள். அதற்கு 2 கப் காய்கறிகள், 600 மி.லி தண்ணீர், 1 சிட்டிகை உப்பையும் மற்றும் 1/2 சிட்டிகை மிளகுத்தூளையும் பயன்படுத்துகிறாள். திடீரென அவளது மாமாவும் அத்தையும் அவள் வீட்டிற்கு வருகை புரிகின்றனர். அதற்கேற்றாற்போல 6 நபர்களுக்கு சூப் தயாரிக்கத் தேவைப்படும் பொருள்களின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் என்ன?

சூழல் 2     ஓர் இராணுவ முகாமில் 200 போர் வீரர்கள் தங்கியுள்ளனர். அவ்வீரர்களுக்கு 40 நாள்களுக்குத் தேவையான உணவுப் பொருள்கள் முகாமில் உள்ளன. அம்முகாமில் மேலும் 50 போர் வீரர்கள் வந்து சேர்ந்தால் உணவுப் பொருள்கள் எத்தனை நாள்களுக்குப் போதுமானதாக இருக்கும்!

மேற்கண்ட இரு சூழ்நிலைகளிலும் ஒரு பொருளில் ஏற்படும் மாற்றம் அதனோடு தொடர்புடைய மற்ற பொருளிலும் மாற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது. அதாவது, முதல் சூழலில் ஆட்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது, அதனோடு தொடர்புடைய பொருள்களின் அளவும் அதிகரிக்கிறது. இரண்டாம் சூழலில் போர் வீரர்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும்போது அதனோடு தொடர்புடைய உணவின் தேவையும் அதிகரிக்கும். ஆகவே, உணவுப் பொருள்கள் குறைவான நாட்களுக்கே போதுமானதாக இருக்கும்.

மேற்கண்ட இரு சூழ்நிலைகளிலும் ஒரு பொருளில் ஏற்படும் மாற்றம் அதனோடு தொடர்புடைய மற்ற பொருளிலும் மாற்றத்தை இரு வகைகளில் ஏற்படுத்துகிறது.

அதாவது,

(i) இரு அளவுகளும் சீராக அதிகரித்தல் அல்லது குறைதல். 

(ii) ஓர் அளவு அதிகரிக்கும்பொழுது மற்றொன்று குறைதல் (அ) மறுதலையாக அமைதல். 

இவ்வாறு இரு அளவுகளும் ஒரு சீரான விகிதத்தில் மாற்றம் அடைவதை விகிதச்சமம் என்கிறோம். இரண்டு வெவ்வேறு மாறுபாடுகள் இரண்டு வகையான விகிதங்களாக உருவாகின்றன என்பதைப் பற்றி இங்கு விவாதிப்போம்.

எங்கும் கணிதம் - நேர் மற்றும் எதிர் விகிதங்கள்