இயற்பியல் சூழ்நிலைகளிலிருந்து வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல் (Formation of Differential equations from Physical Situations)

வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் உருவாக்கம் (Formation of Differential Equations) 

இயற்பியல் சூழ்நிலைகளிலிருந்து வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல் (Formation of Differential equations from Physical Situations)

அன்றாட வாழ்க்கை நிகழ்வுகள் எவ்வாறுவகைக்கெழுச்சமன்பாட்டு மாதிரிகளாக உருவாகின்றன என்பதை விவரிக்க நாம் சில மாதிரிகளை காண்போம்.

மாதிரி 1: (நியூட்டனின் விதி)

நியூட்டனின் இரண்டாம் இயக்க விதிப்படி, m எனும் மாறாத நிறை கொண்ட ஒரு பொருளின் மீது F எனும் விசை செயல்படுவதால் ஏற்படும் கணநேர முடுக்கம் a ஆனது F = ma எனும் சமன்பாட்டால் பெறப்படுகிறது.

தடையின்றி விழும் ஒரு பொருளானது தரைமட்டத்திற்கு மேல் h(t) என்ற உயரத்திலிருந்து விடுவிக்கப்படுகிறது.

பின்னர், நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியானது md2h/dt2 = f(t,h,(t),dh/dt)  எனும் வகைக்கெழுச்சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது. இங்கு m என்பது பொருளின் நிறை, h என்பது தரைமட்டத்திற்கு மேல் உள்ள உயரம் ஆகும். இச்சமன்பாடு காலத்தைப் பொருத்து அறியாத உயரத்தைக் குறிப்பிடும் சார்பின் இரண்டாம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

மாதிரி 2: (மக்கள் தொகைப் பெருக்கம்)

குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது மக்கள் தொகையும் அதிகரிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, முயல்களின் பெருக்கத்தை நாம் எடுத்துக் கொள்வோம். முயல்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால், குட்டி முயல்களின் எண்ணிக்கையும் அதிகமாகும். காலம் அதிகரிக்கும்போது முயல்களின் பெருக்கம் அதிகரிக்கிறது. t நேரத்தில் உயிரினத்தொகுதியின் பெருக்கத்தின் வளர்ச்சி வீதம் N(t) ஆனது உயிரினத்தொகுதி பெருக்கத்திற்கு விகிதமாக இருக்குமானால், பெருக்கத்தை தீர்மானிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு dN/dt = rN ஆகும். இங்கு, r > 0 என்பது வளர்ச்சி விகிதம் ஆகும்.

மாதிரி 3: (லாஜிஸ்டிக் வளர்ச்சி மாதிரி)

ஒரு குறிப்பிட்ட மக்கள் தொகை L இல் நோய் பரவும் வீதமானது (அதாவது, நோய் தொற்று உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கை N அதிகரிக்கும் வீதமானது) நோய்தொற்று உள்ள மக்களின் எண்ணிக்கையும் நோய்தொற்று இல்லாதவர்களின் எண்ணிக்கையையும் பெருக்கிக் கிடைக்கும் மதிப்பாகும்:

dN/dL = kN ( L −N ), k > 0 .