கலப்பெண்கள் அறிமுகம் (Introduction to Complex Numbers)

கலப்பெண்கள் அறிமுகம் (Introduction to Complex Numbers)

கலப்பெண்களை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பாக முதலில் "வர்க்கப்படுத்தும் போது குறை எண் கிடைக்கும் வகையில் ஏதேனும் ஒரு மெய் எண் உள்ளதா?" என்ற கேள்விக்கு விடையளிக்க முயல்வோம். இதற்கு விடையளிக்க கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகளைக் கருதுக.

சமன்பாடு 1

x2 −1 = 0 

x = ± √1

x  = ± 1

சமன்பாடு 1 −க்கு x = −1 மற்றும்  x = 1 என்ற இரண்டு மெய் எண் தீர்வுகள் . உள்ளன. இச்சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்பதும் f(x) = x2 − 1 என்ற வளைவரையின் x வெட்டுத்துண்டுகளை காண்பதும் ஒன்றுதான் என நமக்குத் தெரியும். இந்த வளைவரை x −அச்சை (−1, 0) மற்றும் (1, 0) ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

சமன்பாடு 2

x2 + 1 = 0 

x = ± √−1

x  = ± ?

இதே வாதத்தின் அடிப்படையில் சமன்பாடு 2−க்கு மெய் எண் தீர்வுகள் இல்லை ஏனெனில், f(x) = x2 + 1 என்ற வளைவரையின் வரைபடத்திலிருந்து, இது x−அச்சை வெட்டாது என்பதனைக் காணலாம்.

இதற்கான காரணம் என்ன வென்றால், ஒரு மெய் எண்ணை வர்க்கப்படுத்தி ஒரு குறை எண்ணைப் பெறுவது என்பது இயலாத காரியமாகும். சமன்பாடு 2 −க்கு தீர்வு இருக்க வேண்டுமானால், வர்க்கப்படுத்தினால்−1 வருமாறு ஒரு கற்பனை எண்ணை உருவாக்க வேண்டும். √−1 என்பதைக் கற்பனை அலகு i எனக் குறிப்பிடுகின்றோம். இதிலிருந்து i2 = −1 எனப் பெறலாம். இந்த உண்மையைப் பயன்படுத்தி கற்பனை எண் i −ன் அடுக்குகளின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

1. கற்பனை அலகு i−இன் அடுக்குகள் (Powers of imaginary unit i )

இதிலிருந்து n−ஒரு முழு எண் எனில், in −க்கு நான்கு வெவ்வேறான மதிப்புகள் மட்டுமே உள்ளது என்பதை அறியலாம். இம்மதிப்புகளானது n −ஐ 4−ஆல் வகுப்பதால் கிடைக்கும் மீதிகள் 0, 1, 2, மற்றும் 3 ஆகியவற்றை பொருத்து அமைகின்றது. முழு எண் n ஆனது n ≤ −4 மற்றும் n ≥ 4, ஆக இருக்கும் போது, வகுத்தல் கொள்கையின்படி n = 4q + k, 0 ≤ k < 4, இங்கு k மற்றும் q ஆனது ஆகியவை முழு எண்கள். இதிலிருந்து

(i)n = (i) 4q+k = (i)4q (i)k = ((i)4)q (i)k = (1)q (i)k = (i)k

எடுத்துக்காட்டு 2.1

கீழ்க்காண்பவைகளை சுருக்குக. 

(i) i7

(ii) i 1729 

(iii) (i)−1924 + (i)2018

(iv)

(v) i i2 i3... i40

தீர்வு

(i) (i)7 = (i)4+3 = (i)3 = −i

(ii) i1729 = i1728 i1 = i

(iii) (i)−1924 + (i)2018 + (i)−1924+0 + (i)2016+2 = (i)0 + (i)2 = 1 − 1= 0

(iv) PPPPPP  = (i1 + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8) + ... + (i97 + i98 + i99 + i100) + i101 + i102

=  (i1 + i2 + i3 + i4) +  (i1 + i2 + i3 + i4) + ... + (i1 + i2 + i3 + i4) + i1 + i2

= {i + (−1) + (−i) + 1} + {i + (−1) + (−i) + 1} +... ...+ {i + (−1) + (−i) + 1} + i + (−1)

= 0 + 0 +... 0 + i – 1 = −1 + i (இது என்ன எண்?)

(v) i i2 i3... i40 = i1+2+3+...+40 = i[40×41]/2 = i820 = i0 = 1.

முடிவு: i− ன் நான்கு தொடர்ச்சியான அடுக்குகளின் கூடுதல் பூச்சியமாகும். (in + in+1 + in+2 + in+3)  = 0

குறிப்பு

(i) √ab = √a√b என்பது a, b ஆகியவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது குறையற்றதாக இருந்தால் மட்டும் உண்மை ஆகும்.

உதாரணமாக, 6 = √36 = √[(−4)(−9)] = √[(−4) √(−9)] = (2i)(3i) = 6i2 = −6 என்ற முரண்பாடானது √[(−4)(−9)] = √[(−4) √(−9)] என எடுத்துக் கொண்டதால் தான் நாம் இவ்வாறான முரண்பாட்டை பெறுகிறோம். எனவே √[ab] = √a√b என்பது a, b ஆகியவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது குறையற்றதாக இருந்தால் மட்டுமே உண்மை ஆகும்.

(ii) y ∈ ℝ −க்கு y2 ≥ 0.

ஆகவே, √[(−1)(y2)] = √[(y2)(−1)]

√(−1) √(y2) = √(y2) √(−1)

iy = yi.