கணித தர்க்கவியல் (Mathematical Logic) : கூட்டுக் கூற்றுகள், தர்க்க இணைப்புகள் மற்றும் மெய் அட்டவணைகள் (Compound Statements, Logical Connectives and Truth Tables)

கணித தர்க்கவியல் (Mathematical Logic)

கூட்டுக் கூற்றுகள், தர்க்க இணைப்புகள் மற்றும் மெய் அட்டவணைகள் (Compound Statements, Logical Connectives and Truth Tables)

வரையறை 12.8 (தனி மற்றும் கூட்டுக் கூற்றுகள்)

ஒரு கூற்றினை இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூற்றுகளாக பிரிக்க இயலாவிடில் அக்கூற்றை தனிக்கூற்று அல்லது அணுக்கூற்று என அழைப்பர். ஒரு கூற்றானது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூற்றுகளின் சேர்ப்பாயின் அது ஒரு கூட்டுக் கூற்று என அழைக்கப்படும். எனவே, எந்த ஒரு கூற்றும் தனிக்கூற்று அல்லது கூட்டுக்கூற்று ஆக இருக்க முடியும் என்பது இதன்மூலம் தெளிவாகிறது.

தனிக்கூற்றுக்கு எடுத்துக்காட்டு

எடுத்துக்காட்டு 12.11 -ல் (1), (2), (3) ஆகிய வாக்கியங்கள் தனிக் கூற்றுகளாகும். 

கூட்டுக் கூற்றுக்கு எடுத்துக்காட்டு

“1 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது” என்ற கூற்றைக் கருதுக. மேற்கண்ட கூற்றானது பின்வரும் தனிக் கூற்றுகளின் கூட்டுக் கூற்றாகும்.

p : 1 ஒரு பகா எண் அல்ல. 

Q : ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கூற்று ஒரு தனிக் கூற்று அல்ல. அது ஒரு கூட்டுக் கூற்று ஆகும். மேலே உள்ள விவாதங்களிலிருந்து, எந்தவொரு எளிய கூற்றும் T அல்லது F -இன் மதிப்பைப் பெறுகிறது. எனவே இது ஒரு மாறியாக கருதப்படலாம். இந்த மாறி, கூற்று மாறி அல்லது முன்மொழிவு மாறி என அழைக்கப்படுகிறது. முன்மொழிவுமாறிகள் பொதுவாக,p,q, r,...எனக்குறிக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 12.9 (தர்க்க இணைப்புகள்)

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூற்றுகளை இணைத்து புதிய கூற்றுகளை உருவாக்குவதற்கு “மற்றும்”, “அல்லது”, “எனில்-பின்னர்'', “என்றால் மற்றும் என்றால் மட்டுமே” மற்றும் “அல்ல” முதலிய வார்த்தைகளை இணைப்புகளாகப் பயன்படுத்துகிறோம். இவ்வார்த்தைகளை ஆங்கிலத்தில் முறையே 'and', ‘or', 'if-then', 'if and only if' மற்றும் 'not' என்கிறோம். இந்த இணைப்பு வார்த்தைகளை தர்க்க இணைப்புகள் என்று கூறுவர்.

தனிக் கூற்றுகளிலிருந்து ஒரு கூட்டுக் கூற்றை அமைப்பதற்கு சில இணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மறுப்பு (அல்ல), இணையல் (மற்றும்) மற்றும் பிரிப்பிணைவு (அல்லது) ஆகியவைகள் சில அடிப்படை தர்க்க இணைப்புகள் ஆகும்.

 வரையறை 12.10

ஒரு ‘கூற்றுக் கோவை' என்பது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூற்றுகளை சில அடிப்படை தர்க்க இணைப்புகளால் இணைத்து உருவாக்கும் ஒரு கோவை ஆகும்.

வரையறை 12.11 (மெய்மை அட்டவணை)

தனிக் கூற்றுகள் மற்றும் கூட்டுக் கூற்றுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பினை அவைகளின் மெய் மதிப்புகள் மூலம் வெளிப்படுத்தும் ஒரு அட்டவணையை 'மெய்மை அட்டவணை' என்பர். 

வரையறை 12.12

(i) p ஒரு தனிக்கூற்று என்க. p –ன் மறுப்பு என்பது p-ன் மெய்மதிப்பின் எதிர்மறையைஉடைய கூற்றாகும். அதை –p என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். p-ன் மெய் மதிப்பு ‘F எனில் –p-ன் மெய்மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லையெனில் அது F ஆகும். 

(ii) p, q ஏதேனும் இரு தனிக் கூற்றுகள் என்க. ‘மற்றும்' (and) என்ற வார்த்தையால் இணைக்கப்படும்பொழுது, p மற்றும் q என்ற கூட்டுக் கூற்றை அடைகிறோம். இதனை pΛq என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். இதனை ‘p இணையல் q' அல்லது ‘p தொப்பி q' எனப் படிக்கலாம். p-ம் q-ம் T ஆக மெய் மதிப்பை பெற்றிருந்தால் p Λ q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது F ஆகும். 

(iii) இரண்டு தனிக் கூற்றுகள் p மற்றும் ( கள் அல்லது (or) என்ற வார்த்தையால்இணைக்கப்படும்பொழுது பெறப்படும் கூட்டுக் கூற்று p, q-ன் பிரிப்பிணைவு (disjunction) எனப்படும். இதனை, p∨q என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். இதனை p பிரிப்பிணைவு q' அல்லது or ‘p கிண்ண ம் q' எனப் படிக்கலாம். p-ம் q-ம் F என்ற மெய்மதிப்பை பெற்றிருந்தால் p∨q -ன் மெய்மதிப்பு F ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில் அது T ஆகும்.