டி மாய்வரின் தேற்றம் (de Moivre's Theorem)

1. டி மாய்வரின் தேற்றம் (de Moivre's Theorem)

டி மாய்வரின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண் cos θ + isin θ மற்றும் n என்ற முழு எண்ணிற்கு (cos θ + isin θ)n = (cos nθ + isin nθ)

கிளைத்தேற்றம்

(1) (cos θ − isin θ)n = cos nθ − isin nθ

(2) (cos θ + isin θ)−n = (cos nθ − isin nθ)

(3) (cos θ − isin θ)−n = cos nθ + isin nθ

(4) sin θ + i cos θ = i (cos θ − isin θ).

நாம் இப்பொழுது டிமாய்வரின் தேற்றத்தை கலப்பெண்களை சுருக்குதல் மற்றும் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல் போன்றவற்றிற்கு பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.28

z = (cos θ + isin θ) எனில், zn + 1/zn = 2 cos nθ மற்றும் zn − 1/zn = 2isin nθ என நிறுவுக.

தீர்வு

z = (cos θ + isin θ) என்க

டி மாய்வரின் தேற்றப்படி

zn = (cos θ + isin θ)n = (cos nθ + isin nθ)

1/zn = z−n = cos nθ − isin nθ

ஆகவே, zn + 1/zn = (cos nθ + isin nθ) + (cos nθ − isin nθ)

zn + 1/zn = 2 cos nθ

இதுபோலவே,

zn − 1/zn = (cos nθ + isin nθ) − (cos nθ − isin nθ)

zn − 1/zn = 2 isin nθ

எடுத்துக்காட்டு 2.29

சுருக்குக

தீர்வு

ஆக எழுதலாம்.

இருபுறமும் 18−ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,

எடுத்துக்காட்டு 2.30

சுருக்குக

தீர்வு

z = cos 2θ + isin 2θ என்க

= cos 60θ + isin 60θ .

எடுத்துக்காட்டு 2.31

சுருக்குக (i) (1 + i)l8

(ii) (−√3 + 3i)31

தீர்வு

(i) (1 + i)l8

1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க

r = √[12 + 12 ] = √2 ; α = tan−1[1/1] = π/4 ,

θ  = α = π/4      (∵ 1 + i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)

ஆகவே, 1 + i = √2 ( cos π/4  + isin π/4 )

இருபுறமும் 18−ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,

டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,

θ = π – α = π – π/3 = 2π/3 (∵−√3 + 3i ஆனது II−ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்) 

ஆகவே, −√3 + 3i = 2√3 (cos 2π/3  + isin 2π/3)

இருபுறமும் 31−ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,