தொடர்ச்சியான சார்புகளின் இயற்கணிதம் (Algebra of continuous functions)

தொடர்ச்சியான சார்புகளின் இயற்கணிதம் (Algebra of continuous functions)

f மற்றும் g என்ற சார்புகள், x0 −ஐ உள்ளடக்கிய அண்மைப் பகுதியிலும் x0 என்ற புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியானவைகள் எனில்,

(1) x = x0 −இல் f + g தொடர்ச்சியானது

(2) x = x0 = x −இல் f − g தொடர்ச்சியானது

(3) x = x0−இல் f . g தொடர்ச்சியானது

(4) x = x0 −இல் f /g (g(x) ≠ 0) தொடர்ச்சியானது

(5) தொடர்ச்சியைப் பற்றிய சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் f என்ற சார்பு g(x0)−இல் மற்றும் g என்ற சார்பு x = x0 −இல் தொடர்ச்சியானவை எனில் fog −யும் x0 −இல் தொடர்ச்சியானது.

மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சி (Continuity in a closed interval)

வரையறை 9.9

f: [a,b] → ℝ என்ற சார்பு, திறந்த இடைவெளி (a, b)−ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்   ஆகவும் இருப்பின், அந்தச் சார்பு மூடிய இடைவெளி [a, b] −ல் தொடர்ச்சியானது எனக்கூறலாம்.

அதாவது ஒரு சார்பு a−க்கு வலப்பக்கமிருந்து தொடர்ச்சியாகவும் b−க்கு இடப்பக்கமிருந்து தொடர்ச்சியாகவும் மற்றும் (a,b) திறந்த இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி x0−க்கும் தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 9.7

என்ற சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையை ஆராய்க.

தீர்வு

சார்பு f−ன் வரையறைப்படி சார்பகம் மூடிய இடைவெளி [−1,1] ஆகும்.

(1 − x2 ≥ 0 ஆக இருக்கும்போது f வரையறுக்கப்படுகிறது)

c ∈ (−1, 1) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கு

இவ்வாறாக f என்ற சார்பு [−1, 1] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது. இந்தக் கணக்கினை சார்புகளின் சேர்ப்புத் தேற்றம் மூலமும் தீர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 9.36

பின்வரும் சார்புகள் எந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது எனக் காண்க.

தீர்வு

(i) f(x) = tan x என்ற சார்பு x = (2n + 1) π/2 ,n ∈ Z என்ற இடங்களில் வரையறுக்கப்படவில்லை. மற்ற எல்லா இடங்களிலும் இது தொடர்ச்சியானது, எனவே f(x) = tan x சார்பு போன்ற திறந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது.

(ii) y = 1/x என்ற சார்பு x = 0−ஐ தவிர ℝ −ன் மற்ற எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது.

x = 0−இல் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.

g(x) = sin 1/x என்ற சார்பு x = 0 தவிர மற்ற எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது.

மதிப்பு கிடைக்காது. எனவே g என்ற சார்பு (−∞, 0) மற்றும் (0, ∞) இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது.

(iii) h(x) என்ற சார்பு, ℝ =  (− ∞, ∞)−ல் x0 ≠ 0 என உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே மெய்யெண் கோட்டில் உள்ள எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் h(x) தொடர்ச்சியானது.

எடுத்துக்காட்டு 9.37

தக்காளி மொத்த விற்பனையாளர் ஒருவர் புதியதாக அறுவடையான தக்காளியின் விலை 100 கிலோவுக்கு குறைவாக வாங்கினால் ரூபாய் ₹ 0.16/கி வீதமும் குறைந்தபட்சம் 100 கி வாங்கினால் ரூபாய் ₹ 0.14/கி விற்பதாகக் காண்கிறார். மொத்த விலையின் சார்பையும் 100 கிலோ வாங்கும்போது உள்ள விலையையும் காண்க.

தீர்வு

நாள் ஒன்றுக்கு வாங்கும் தக்காளியின் அளவு x என்க. மற்றும் விலை C என்க.

இந்தச் சார்பின் படம் பின்வருமாறு:

இங்குச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு 14−ல் இருந்து மற்றொரு எண் 16க்கு மாற்றம் அடைகிறது.