இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு (Distance between any Two Points)

இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு (Distance between any Two Points)

அகிலாவும் சண்முகமும் சத்தியமங்கலத்தில் ஒரே தெருவில் வசிக்கும் இரு நண்பர்கள். இத்தெருவும் நூலகம் அமைந்துள்ள மற்றொரு தெருவும் சந்திக்கும் இடத்தில் சண்முகத்தின் வீடு அமைந்துள்ளது. சண்முகத்தின் வீட்டிற்கு அருகில் உள்ள பள்ளியில் இருவரும் படிக்கின்றார்கள். கீழேயுள்ள வரைபடத்தைப் பார்க்காமல் அவர்களின் வீடுகள், நூலகம் மற்றும் பள்ளியின் படங்களை நீயாக வரைய முயற்சி செய்க. பள்ளியானது, ஆதிப்புள்ளியில் உள்ளதாகக் கருதுக. (ஆயத்தொலை அமைப்பு மொழியின் எல்லா வழிமுறைகளையும் பயன்படுத்தி நாம் இதைச் செய்யலாமே!)

இப்பொழுது 1 அலகு = 50 மீட்டர்கள் என அளவுத் திட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தைப் (படம் 5.13) பார்த்து நீங்கள் இங்குள்ள வினாக்களுக்கு விடையளிக்க வேண்டும்.

(1) சண்முகத்தின் வீட்டிலிருந்து அகிலாவின் வீடு எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

(2) சண்முகத்தின் வீட்டிலிருந்து நூலகம் எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

(3) சண்முகம் மற்றும் அகிலாவின் வீடுகளிலிருந்து பள்ளி எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

(4) அகிலாவின் வீட்டிலிருந்து நூலகம் எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

(5) அகிலாவின் வீட்டிலிருந்து சண்முகத்தின் வீடு எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

வினா எண் (1) −ற்கு விடையளித்த பின்பு கேள்வி (5) −ற்கான தேவை இருக்காது. புள்ளி A இலிருந்து B இக்கு உள்ள தொலைவும், புள்ளி B இலிருந்து A  −க்கு உள்ள தொலைவும் சமம் எனத் தெள்ளதெளிவாகிறது. மேலும், நாம் பொதுவாகப் புள்ளி A −க்கும் B −க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு என அழைப்போம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக எவ்வாறு பின்வரும் பண்புகளைக் குறித்துக்கொள்வார்களோ அதேபோல் நாம் இதையும் தொலைவு (A,B) = தொலைவு (B,A) எனக் குறித்துக்கொள்வது சிறந்தது. இது ஒரு தளத்தில் அமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும். ஆகவே, எவ்வாறாயினும் வினா எண் (5)உம் வினா எண் (1) உம் ஒன்றே.

மற்ற வினாக்களின் விடைதான் என்ன? அந்த வினாக்கள் அனைத்தும் வெவ்வேறானவையே. இரண்டு வீடுகளும் வடக்குத் தெற்காக ஒரே தெருவில் அமைந்துள்ளதை நாம் அறிவோம். இதிலிருந்து, y அச்சுத் தொலைவானது வினா எண்(1) இன் விடையாக அமைகிறது.

குறிப்பு

தொலைவு (A,B) = தொலைவு (B,A) என்ற சமன்பாடு சில நேரங்களில் உண்மையல்ல என்பது தெளிவு. A இலிருந்து B −க்குச் செல்லும் சாலையானது ஒரு வழிப்பாதையாக இருக்கும் பொழுது நீங்கள் மறுவழியில் செல்ல இயலுமா? இப்பொழுது B இலிருந்து A  −க்குச் செல்லும் தொலைவு மாறுபடும். ஆனால் நாம் இவ்வாறான சிக்கல்கள் எல்லாவற்றையும் தவிர்த்து இருவழியில் செல்வதாகவே கருதுவோம்

இதேபோன்று, நூலகமும் சண்முகத்தின் இல்லமும் கிழக்கு மேற்காகச் செல்லும் ஒரே தெருவில் இருப்பதால் x ஆயத் தொலைவுதான் (2) ஆவது வினாவிற்கான விடையாகும்.

எத்தகைய வழிகள் உள்ளன என்பதைப் பொருத்துதான் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வினாக்களுக்கான விடை அமைகிறது. x மற்றும் y அச்சுகளுக்கு இணையாக 1, 2, 3 ... எனக் குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை உடைய ஒரேயொரு தெரு மட்டுமே உள்ளதாக நாம் கருதினால் தொலைவுகளைக் கூட்டுவதால் இவ்வினாக்களுக்கு நம்மால் விடையளிக்க இயலும். ஆயினும் அகிலாவின் இல்லத்திற்குக் கிழக்கே உள்ள பரந்த திடலைக் கருதுவோம்.

ஒருவேளை திடலைக் கடந்து அவள் நடந்து செல்ல விரும்பக் கூடும். இவ்வேளையில் ஓரிடத்திலிருந்து மற்றோர் இடத்திற்குச் செல்ல பல வழிகள் இருப்பதால் அவற்றின் தொலைவினைப் பற்றிக் கணக்கிடுவது துல்லியமாக இருக்காது. எனவே, அதனைக் கணிக்க நமக்கு ஒரு வழிமுறை தேவை. A மற்றும் B  − க்கு இடையே பல வழிகள் இருப்பதால் அவற்றில் மீச்சிறு தொலைவினைக் குறிக்கத் தொலைவு (A, B) என்பதைப் பயன்படுத்துவோம்.

தளத்திலுள்ள A மற்றும் B என்ற எவையேனும் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவைப் பற்றிச் சிந்திக்கும்போது, A மற்றும் B −க்கு இடையே உள்ள நேர்க்கோட்டுத் தொலைவைத்தான் நாம் தொலைவு (A, B) எனக் கருதுவோம். இந்தக் கருத்தே ஆயத்தொலை அமைப்பிலும் முக்கியமான காரணியாகும்! அதற்கு முன்னர், நாம் எடுத்துக்காட்டின் உதவிக்கொண்டு மேலும் இரு வினாக்களுக்கு விடையளிக்க முயலுவோம்.

1. பள்ளியை ஆதியாகக் கொண்டு இரு இல்லங்கள், பள்ளி மற்றும் நூலகத்திற்கான ஆயத்தொலைவுகளை வரையறுக்கவும்.

2. மேற்கண்ட எவையேனும் இரு இடங்களுக்கிடையே உள்ள தூரத்தினை ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் கணக்கிடுக.

"நேர்க்கோட்டுத் தொலைவு" என்பது "காகத்தின் பறக்கும் பாங்கு" என அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது இடையே தரை வழியாக எத்தன்மையான இடையூறு நேர்ந்தாலும் பொருட்படுத்தாது A இலிருந்து B −க்குச் செல்ல வேண்டுமெனில் பறக்கத்தான் வேண்டும் என்பதே இதன் பொருளாகும். எனினும் எந்தப் பறவையும் அவ்வாறு நேர்க்கோட்டில் பறப்பதில்லை என்பது உறுதி.

இதற்கு முறையான விடையளிக்க, A = (x , y) மற்றும் B = (x' , y') எனத் தளத்தில் அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே தொலைவு (A, B) கணக்கிட நம்மால் இயலும். மேலும், x, y, x' மற்றும் y' ஆகியவற்றின் வாயிலாக ஒரு வாய்ப்பாட்டை எளிதாகத் தருவிக்கலாம். இதனை நாம் தருவிக்க முயல்வோம்.

1. ஆய அச்சுகளில் அமைந்த இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு (Distance between Two Points on the Coordinate Axes)

x −அச்சின் மேல் உள்ள புள்ளிகள் : x அச்சில் அமைந்த இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு என்பது அவற்றின் x அச்சுத் தொலைவுகளின் வித்தியாசம் ஆகும். A(x₁ , 0) மற்றும் B(x₂ , 0) என்ற இரு புள்ளிகளை x அச்சின் மேல் கருதுவோம்.

புள்ளி Aஇல் இருந்து Bஇன் தொலைவு AB = OB  −  OA = x₂  − x₁ ஏனெனில் x₂ > x₁ அல்லது

= x₁  − x₂ ஏனெனில் x₁ > x₂

AB = | x₂  − x₁ |

(இதை x₂  − x₁ இன் மட்டு மதிப்பு அல்லது மிகை மதிப்பு [absolute value) எனப் படிக்க வேண்டும்.)

y −அச்சின் மேல் உள்ள புள்ளிகள் : இதேபோல, y அச்சில் அமைந்த இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு என்பது அவற்றின் y அச்சுத் தொலைவுகளின் வித்தியாசம் ஆகும்.

 P(0,y₁), Q(0,y₂) என்ற புள்ளிகளைக் கருதுக.

புள்ளி P இலிருந்து Q இன் தொலைவு

PQ = OQ  − OP.

= y₂  − y₁ ஏனெனில் y₂ > y₁ அல்லது

= y₁  − y₂ ஏனெனில் y₁ > y₂ ,       PQ = | y₂  − y₁ |

(இதை y₂  − y₁ இன் மட்டு மதிப்பு அல்லது மிகை மதிப்பு [absolute value] எனப் படிக்க வேண்டும்)

2. ஆய அச்சுகளுக்கு இணையான கோட்டில் அமையும் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு (Distance Between Two Points Lying on a Line Parallel to Coordinate Axes)

A(x₁,y₁) மற்றும் B(x₂, y₁) என்ற புள்ளிகளைக் கருதுவோம். அவற்றின் y அச்சுத் தொலைவுகள் சமமாக உள்ளதால் அவை x அச்சிற்கு இணையாகச் செல்லும் நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன. A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் இருந்து x அச்சிற்கு முறையே AP மற்றும் BQ என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் வரைக. படத்தை (படம் 5.16) உற்று நோக்கினால் AB இன் தொலைவு, PQ இன் தொலைவிற்குச் சமமாக அமைகிறது.

AB இன் தொலைவு = PQ இன் தொலைவு

= | x₂  − x₁ |

[இரு புள்ளிகளின் x அச்சுத் தொலைவுகளின் வித்தியாசம்]

இதேபோல் புள்ளிகள் A (x₁, y₁) மற்றும் B(x₁ , y₂ ) இணைக்கும் கோடு y அச்சிற்கு இணையாகும். எனவே, இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு | y₂  − y₁ | (இரு புள்ளிகளின் y அச்சுத் தொலைவுகளின் வேறுபாடு) ஆகும்.

சிந்தனைக் களம்

ஒருவர் 3 கி.மீ. தூரம் வடக்கு நோக்கிச் செல்கிறார். பிறகு அங்கிருந்து 4 கி.மீ. கிழக்கு நோக்கிச் செல்கிறார். எனில், தற்போது ஆரம்ப இடத்திலிருந்து எவ்வளவு தொலைவில் இருக்கிறார்?

3. தளத்திலுள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு (Distance Between the Two Points on a Plane)

P(x₁, y₁ ) மற்றும் Q( x₂, y₂) என்பன கார்ட்டீசியன் தளத்தில் (அல்லது xy தளம்) உள்ள இரு புள்ளிகள் என்க மேலும் அப்புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு “d” என்க. அதாவது PQ=d

படி 1 ஆய அச்சுகளின் விதிப்படி,

OM = x₁;  MP = y₁  ON = x₂;  NQ = y₂,

இங்கு PR ┴ NQ

மேலும் PR= MN (செவ்வகம் MNRP இன் எதிர்ப் பக்கங்கள்)

= ON  − OM           (Oஇல் இருந்து தொலைவு)

= x₂ – x₁                      ......... (1)

மற்றும் RQ= NQ  − NR

= NQ  − MP            (செவ்வகம் MNRP இன் எதிர்ப்பக்கங்கள்)

= y₂ – y₁                   ...........(2)

படி 2 ∆PQR இல் R ஒரு செங்கோணம் (PR ┴ NQ).

PQ² = PR² + RQ²                     (பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

d² = (x₂ – x₁ )² + (y₂ − y₁)²

d =√ [ (x₂ – x₁ )² + (y₂ − y₁)²] (வர்க்க மூலத்தின் மிகைப்பகுதி) 

குறிப்பு

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு

• P(x₁, y₁) மற்றும் Q ( x₂, y₂) என்ற இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவிற்கான வாய்ப்பாடு  d =√ [ (x₂ – x₁ )² + (y₂ − y₁)²] 

• PQ இன் தொலைவு = QP இன் தொலைவு

√ [ (x₂ – x₁ )² + (y₂ − y₁)² ] = √ [ (x₁ – x₂ )² + (y₁ − y₂)² ]   

P (x₁, y₁ ) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி O (0,0) இக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு OP = √ [ x₁², y₁² ]

4. தொலைவுப் பண்புகள் (Properties of Distances)

ஒரு தளத்தில் அமைந்த எவையேனும் A, B எனும் இரு புள்ளிகளுக்குத் தொலைவு (A, B) = தொலைவு (B, A) என நாம் முன்னரே கண்டோம். இங்கு மற்ற சில பண்புகளைப் பற்றிச் சிந்திப்போம்.

ஒரு தளத்திலுள்ள A மற்றும் B ஆகிய இரு புள்ளிகளும் ஒரே புள்ளியாக (A=B) இருந்தால் மட்டுமே தொலைவு (A, B) = 0 ஆக இருக்கும்.

A மற்றும் B ஆகிய எவையேனும் இரு தனித்த புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு (A, B)>0.

A, B மற்றும் C என மூன்று புள்ளிகளைக் கருதுவோம். அவற்றின் x ஆயத் தொலைவுகள் ஒன்றாக இருந்தால் அவை மூன்றும் y அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டிலமைந்த புள்ளிகளாக இருக்கும் என நாம் அறிவோம். அதே போன்று, y அச்சுத் தூரங்கள் ஒன்றாக இருப்பின் அவை மூன்றும், x அச்சுக்கு இணையாக ஒரே கோட்டிலமைந்த புள்ளிகளாக இருக்கும் என நாம் அறிவோம். ஆயினும் ஒரு கோடமைந்த புள்ளிகளாக அமைய இவை மட்டுமே வரையறையன்று. மேலும், புள்ளிகள் (0,0), (1,1) மற்றும் (2, 2) ஒரு கோடமைந்த புள்ளிகளாகும். இந்த ஆயத் தொலைவுப் புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்த புள்ளிகளாகத் திகழ எத்தகைய தொடர்பினைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என நினைக்கத் தோன்றுகிறது அல்லவா?

இங்குதான் தொலைவு வாய்ப்பாடு நமக்குப் பயன்படுகின்றது. A, B மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் முனைகளாக முறையாகப் பெயரிடப்பட்ட பிறகு,

தொலைவு (A, B) + தொலைவு (B, C) > தொலைவு (A, C) ஆக இருக்கும் என நாம் அறிவோம்.

ஒரு தளத்திலுள்ள மூன்று புள்ளிகள் எப்போது முக்கோணத்தை அமைக்காது? அவை ஒரே கோட்டில் அமையும் போது, இவ்வாறான நிகழ்வில் நாம்,

தொலைவு(A,B) + தொலைவு(B,C) = தொலைவு(A,C) என நிறுவலாம்.

அதேபோன்று, A, B மற்றும் C ஆகியன ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள், மேலும் ∠ABC = 90° எனில் நாம் அறிவது,

தொலைவு(AB)² + தொலைவு(BC)² = தொலைவு(AC)².

இதன் மறுதலையையும் நம்மால் மெய்ப்பித்துக் காட்ட முடியும். அதாவது புள்ளிகள் A, B மற்றும் C என்பன மேற்காணும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால் அப்புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகளாகவே அமையும்.

குறிப்பிட்ட வடிவியல் வடிவங்களுக்கான வினாக்களுக்கு விடையளிப்பதில் தொலைவுப் பண்புகள் எவ்வாறு பயன்படுகிறது என்பதைப் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் விளக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5.4

( −4, 3), (2, −3) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவினைக் காண்க.

தீர்வு

( −4, 3), (2, −3) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு

எடுத்துக்காட்டு 5.5

A(3,1) , B(6,4) மற்றும் C(8,6) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமையும் புள்ளிகள் என நிறுவுக.

தீர்வு

தொலைவு வாய்பாட்டின் படி

ஆகவே, தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன.

ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள்

கொடுத்துள்ள மூன்று புள்ளிகளை இரண்டிரண்டு புள்ளிகளின் சோடிகளாக எழுதி, மூன்று சோடிகளைப் பெறலாம். அவற்றுள் ஏதேனும் இரண்டு சோடிகளின் தொலைவுகளின் கூடுதல் மூன்றாவது சோடியின் தொலைவுக்குச் சமமாக இருந்தால் அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும். A, B, C என்ற மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையுமானால் AB + BC = AC எனக் கூறலாம்

எடுத்துக்காட்டு 5.6

A(7, 10), B( −2, 5), C(3,  − 4) என்ற புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகள் என நிறுவுக.

தீர்வு

A = (7, 10), B = ( −2, 5), C = (3, − 4)

(1),(2) மற்றும் (3) இல் இருந்து,

AB² + BC² =106 + 106 = 212 = AC²

அதாவது AB² + BC² = AC²

ஆகவே தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் உச்சி B இல் செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண ∆ABC ஐ அமைக்கும்.

செங்கோண முக்கோணம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலானது அதன் கர்ணமாகிய மூன்றாவது பக்கத்தின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.7

A( − 4,  −3), B(3, 1), C(3, 6), D( −4,2) என்ற வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தின் உச்சிகளாக அமையும் என நிறுவுக.

தீர்வு புள்ளிகள் A( − 4,  −3), B(3, 1), C(3, 6), D( − 4, 2) என்பன ஏதேனும் ஒரு நாற்கரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க.

தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

AB = CD = √ 65  மற்றும்  BC = AD = 5

எதிரெதிர்ப்பக்கங்கள் சமம் என்பதால் தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் இணைகரம் ABCD இன் உச்சிகளாக அமையும்.

இணைகரம்

இணைகரத்தின்எதிர்ப்பக்கங்கள் சம நீளமுடையவை

எடுத்துக்காட்டு 5.8

A(7, 3) மற்றும் x அச்சின் மீது அமைந்த புள்ளி B இன் x அச்சுத் தொலைவு 11 எனில் AB இன் தொலைவைக் காண்க.

தீர்வு

புள்ளி B ஆனது x அச்சின் மீது அமைவதால் அதன் y அச்சுத் தொலைவு 0 ஆகும். எனவே, புள்ளி B (11, 0)

A (7, 3), B (11, 0) என்ற புள்ளிகளுக்கிடையேயான தொலைவு,

தொலைவு வாய்ப்பாட்டின்படி,

எடுத்துக்காட்டு 5.9

P, Q மற்றும் R என்ற புள்ளிகளின் அச்சுத் தொலைவுகள் முறையே (6, −1), (1, 3) மற்றும் (a, 8). மேலும், PQ = QR எனில் 'a' இன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் P (6,  −1), Q (1, 3) R (a, 8)

கணக்கின்படி PQ = QR

ஆகவே √ 41= √ [ (a  − 1)² + (5)² ]

41 = (a  − 1)² + 25           (இருபுறமும் வர்க்கம் காண)

(a  − 1)² + 25 = 41

(a  − 1)^{2 =} 41  − 25

(a  − 1)² = 16

 (a  −1) = ± 4           (வர்க்க மூலம் காண]

a = 1 ± 4

a = 1 + 4 அல்லது a = 1  − 4

a = 5 அல்லது  a =  − 3

எடுத்துக்காட்டு 5.10

A(2, 2), B(8, −4) என்பன தரப்பட்டுள்ள தளத்திலுள்ள இரு புள்ளிகள் என்க. x −அச்சில் (மிகைப்பகுதி) P என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது. இது ABஐ 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது எனில், P இன் அச்சுத் தொலைவைக் காண்க.

தீர்வு

A(2, 2) மற்றும் B(8,  −4), P = (x , 0) என்க. (P ஆனது x அச்சின் மீதுள்ளதால்)

தொலைவு வாய்ப்பாட்டின் படி,

கணக்கின்படி, AP: PB = 1: 2

அதாவது AP / BP = 1 / 2     (∵BP = PB)

2AP = BP

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,

4AP² = BP²

4(x²  − 4x + 8) = (x²  − 16x + 80)  

4 x²  − 16x + 32 = x²  − 16x + 80  

3x²  − 48 = 0

3x² = 48

x² = 16

x = ± 4

புள்ளி Pஆனது x அச்சில் (மிகைப்பகுதியில்) அமைவதால்,

புள்ளி P இன் அச்சுத் தொலைவுகள் (4, 0)

எடுத்துக்காட்டு 5.11

புள்ளிகள் (9, 3), (7, −1) மற்றும் ( −1,3) வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் (4, 3) என நிறுவுக. மேலும் அவ்வட்டத்தின் ஆரம் காண்க.

தீர்வு

P(4, 3), A(9, 3), B(7,  −1) மற்றும் C( −1, 3) என்க

புள்ளிகள் A, B, மற்றும் C வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் P என்பதால் அப்புள்ளிகள் P இல் இருந்து சம தூரத்தில் அமையும். அதாவது PA = PB = PC

தொலைவு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,

PA = PB = PC = 5, ஆரம் = 5.

எனவே, P என்ற புள்ளி A, B மற்றும் C என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையமாகும்.