நடுக்கோட்டு மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் (The Coordinates of the Centroid)

நடுக்கோட்டு மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் (The Coordinates of the Centroid)

A(x_1, y₁), B(x_2, y₂) மற்றும் C(x_3, y₃) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டுள்ள ∅ABC ஐக் கருதுக.

AD, BE மற்றும் CF என்பன ∅ABC இன் நடுக்கோடுகள் என்க .

BC இன் மையப் புள்ளி D [ (x₂ + x₃) / 2 , (y₂ + y₃) / 2 ] 

நடுக்கோடு AD ஐ நடுக்கோட்டு மையம் G ஆனது உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி, நடுக்கோட்டு மையம் G(x,y)ஆனது,

A (x_{1 ,} y₁), B (x_2, y₂) மற்றும் C(x₃,y₃) ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்டுள்ள முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்  G[ (x₁ + x₂+ x₃) / 3 , (y₁ + y₂+ y₃) / 3 ] 

செயல்பாடு  − 2

1. வரைபடத் தாளில் A(x_1, y₁) _, B(x_2, y₂) மற்றும் C(x_3, y₃)  −ஐ உச்சிகளாக உடைய ∅ABC −ஐ வரைக.

2. ∅ABC இன் நடுக்கோடுகள் வரைந்து நடுக்கோட்டு மையத்தைக் குறிக்கவும்

உற்றுநோக்கல்

(i)∅ABC இன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் இங்கு

A(x_1, y₁) =…………………

B(x_2, y₂) =…………………மற்றும்

C(x_3, y₃) = ………………..

(ii) நடுக்கோட்டு மையம் G இன் ஆயத்தொலைவுகள் = …………….

(iii) நடுக்கோட்டு மையத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி, G இன் ஆயத் தொலைவுகள் = ……………..

(iv) AB இன் நடுப்புள்ளி ………………….

(v) AB இன் நடுப்புள்ளி மற்றும் (x_3, y₃) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை 2:1 என்ற

விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி …………………

குறிப்பு

• ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி (G) யில் சந்திக்கும். மேலும் அந்தப் புள்ளியானது, நடுக்கோட்டின் மேல் உள்ள முனைக்கு எதிர்ப்பக்கத்திலிருந்து மூன்றில் ஒரு பங்கு தொலைவில் அமையும்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையமும் அந்த முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்து உருவாக்கப்படும் முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையமும் ஒன்றே (வெவ்வேறானவை அல்ல ).

• (a_1, b₁) (a_2, b₂) மற்றும் (a_3, b₃) ஆனது ∅ABC இன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் எனில் அதன் நடுக்கோட்டு மையம்

 ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 5.20

A(6, −1), B(8,3) மற்றும் C(10, −5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் காண்க.

தீர்வு

A(6, −1), B(8,3) மற்றும் C(10, −5) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x,y)

கொடுக்கப்பட்டது (x_1, y₁) = (6, −1) ; (x_2, y₂) = (8,3);

 (x_3, y₃) = (10, −5) 

முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம்

குறிப்பு

• ஒரு முக்கோணத்தில், ஆய்லரின் கோடு என்பது செங்கோட்டு மையம் (H), நடுக்கோட்டு மையம் (G) மற்றும் சுற்றுவட்ட மையம் (S) இன் வழியே செல்லும் கோடு ஆகும். G ஆனது, கோட்டுத்துண்டு  ஐ 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும். அதாவது நடுக்கோட்டு மையமானது, செங்கோட்டு மையம் மற்றும் சுற்றுவட்ட மையத்தை 2:1 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாக செங்கோட்டு மையத்திலிருந்து பிரிக்கும்.

• ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் செங்கோட்டு மையம், உள்வட்ட மையம், நடுக்கோட்டு மையம் மற்றும் சுற்றுவட்ட மையம் அனைத்தும் ஒரே புள்ளியில் அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.21

 (1, −6) மற்றும் ( −5,2) ஆகியன ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு முனைப் புள்ளிகள் மற்றும் அதன் நடுக்கோட்டு மையம் ( −2,1) எனில் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது முனைப் புள்ளியைக் காண்க.

தீர்வு

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைப் புள்ளிகள் A (1, −6), B( −5, 2) மற்றும் C(x_3, y₃)என்க .

முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் ( −2,1) ஆனது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே நாம் பெறுவது,

(x₁ + x₂+ x₃) / 3 =  − 2

(1 + 5+ x₃ ) / 3 =  − 2

 −4 + x₃ =  − 6

x₃ =  − 2

(y₁ + y₂+ y₃) / 3 = 1

( − 6 + 2+ y₃) / 3 = 1

 − 4 + y₃ = 3

y₃ = 7

எனவே மூன்றாவது முனைப் புள்ளி ( −2,7) ஆகும்.

சிந்தனைக் களம்

(i) ஆசிரியர், முனைகள் A(5, 8), B(2, 4), C(8, 3) இல் அமையுமாறு உள்ள ஒரு முக்கோண வடிவத் தட்டு மற்றும் ஒரு குச்சியை மாணவனிடம் வழங்கித் தட்டைக் குச்சியின் மேல் நிலையாக நிற்கச் செய்யுமாறு கூறினார். அந்த மாணவனுக்குத் தட்டு நிலையாக நிற்கும் புள்ளியைக் காண்பதற்குத் தங்களால் உதவ முடியுமா.

(ii) இந்த முக்கோணத்தின் புவிஈர்ப்புமையம் எது? ஏன்?