ஒரு கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி (The Mid −point of a Line Segment)

ஒரு கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி (The Mid −point of a Line Segment)

ஒருவர் தனது இரு சக்கர வண்டியைக் கல்லூரியில் இருந்து கிழக்கு நோக்கி நேராகச் செல்லும் பாதையில் கிராமம் A −க்கும் பின்பு கிராமம் B −க்கும் செலுத்துவதாகக் கற்பனை செய்யுங்கள். இரண்டு கிராமங்களுக்கு இடையில் எரிபொருள் நிரப்பும் நிலையம் இல்லை. A மற்றும் B −க்கு இடையில் அமைந்த ஒரு புள்ளியில், தனது பயணத்திற்குத் தேவையான எரிபொருள் இல்லை என்பதை அவர் உணர்கிறார். இந்நிலையில், அவர் A −க்குத் திரும்பி விடுவாரா அல்லது தனது பயணத்தை B −ஐ நோக்கித் தொடர்வாரா? குறைந்த தூரம் எது? இவற்றை எவ்வாறு அறிவது? இதற்கு அவர் நடுவில் அமைந்த மையப்புள்ளியைக் கடந்து விட்டாரா என்பதை அறிய வேண்டியுள்ளது

மேற்காணும் படம் 5.21 ஆனது இந்தச் சூழ்நிலையை விளக்குகிறது. கல்லூரியானது ஆதி O விலும், இதிலிருந்து கிராமம் A மற்றும் கிராமம் B முறையே தொலைவுகள் x₁ மற்றும் x₂ விலும் (x₁ < x₂) அமைந்துள்ளதாகக் கற்பனை செய்வோம். AB இன் நடுப்புள்ளி M எனில் x ஆனது பின்வரும் வழியில் பெறப்படுகின்றது.

AM = MB மற்றும் x  − x₁ = x₂ – x

இதிலிருந்து, x =( x₁ + x₂ ) / 2 எனப் பெறலாம்.

 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) என்பன இரு புள்ளிகள், படம் 5.22 இல் கோட்டுத் துண்டு AB இன் நடுப்புள்ளி M (x,y) எனில், M' என்பது AC இன் நடுப்புள்ளியாகும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் மையக்குத்துக் கோடுகள் கர்ணத்தின் நடுப்புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும். (இது படத்தில் காணும் வண்ணமிடப்பட்ட இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளில் இருந்தும் பெறப்படுகின்றது. இவ்வகை முக்கோணங்களில் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமம்).

மற்றொரு வகையில் தீர்வு காணல்

 (விகிதச் சமப் பண்பைப் பயன்படுத்தி) நாம் புள்ளி M ஐ M(x,y) எனக் கருதுவோம். இப்போது ∆AMM' மற்றும் ∅MBD ஆகியவை விகிதச் சமமானவை. எனவே,

AM' / MD = MM' / BD = AM / MB

(x − x₁ ) / (x₂ – x) = ( y – y₁) / ( y₂  − y ) = 1 / 1 (AM = MB)

(x − x₁ ) / (x₂ – x) = 1 ஐக் கருதுக.

2x = x₂ + x₁ ==> x = (x₂ + x₁ ) / 2

இதேபோல், y = (y₂ + y₁ ) / 2

M இன் x ஆயத்தொலைவு, A மற்றும் C இன் x ஆயத்தொலைவுகளின்  சராசரி = (x₁ + x₂)/2 ,மேலும் இதேபோல், M இன் y −ஆயத்தொலைவு, B மற்றும் C இன் y ஆயத்தொலைவுகளின் சராசரி = (y₁ + y₂)/2 ஆகும்.

புள்ளிகள் A (x₁,y₁) மற்றும் B (x₂, y₂) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி

M [(x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 ] ஆகும்.

சிந்தனைக்களம்

AD = 4 செமீ மேலும், D ஆனது AC இன் நடுப்புள்ளி மற்றும் C ஆனது AB இன் நடுப்புள்ளி எனில் AB இன் நீளம் காண்க.

எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிகள் ( −8, −10) மற்றும் (4, −2) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு x₁ = −8, x₂ = 4, y₁ = −10 மற்றும் y₂ =  −2. 

தேவையான நடுப்புள்ளி ஆனதுஅல்லது ( −2, −6).

நம்முடைய நடைமுறை வாழ்க்கைச் சூழலில் நடுப்புள்ளியின் பயன்பாட்டைப் பார்க்கலாம். பின்வரும் நகரங்களின் தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்சரேகையைக் கருதுவோம்.

நாம் சென்னை (80.27ϒகி, 13.00ϒவ) மற்றும் மங்களூரு (74.85ϒகி ,13.00ϒவ) ஆகியவற்றின் தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்ச ரேகைகளை இணைகளாக எடுக்கலாம். மேலும் பெங்களூருவானது சென்னை மற்றும் மங்களூருவிற்கு நடுவில் அமைந்துள்ள நகரமாகும். இப்பொழுது நாம் ஆயத்தொலைவுகளின் சராசரிகளைக் கணக்கிட்டால், [ (80.27 +74.85) / 2 , (13.00 + 13.00 ) / 2 ]  என அமையும். இது பெங்களூருவின் தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்சரேகையான (77.56°ϒகி ,13.00ϒவ)ஐக் கொடுக்கின்றது. மேற்காணும் எடுத்துக்காட்டுகளில் இருந்து மையத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளியானது மற்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் நடுப் புள்ளியாகும். மேலும் அந்தப் புள்ளியானது மற்ற இரண்டு புள்ளிகளைச் சம விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது.

எடுத்துக்காட்டு 5.12

ஒரு வட்டத்தின் மையப்புள்ளி (3, −4). AB ஆனது அந்த வட்டத்தின் விட்டம் மற்றும் B (5, −6) எனில் A இன் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

A இன் ஆயத்தொலைவு (x_1, y₁) என்க, B(5, −6) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால், நாம் பெறுவது,

(x₁ + x₂) / 2 = 3 

x₁ + 5 = 6

x₁ = 6 – 5

x₁ =1

(y₁ + y₂) / 2 =  − 4

y₁  − 6 =  −8

y₁ =  −8 + 6

 y₁ =  − 2

எனவே, A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (1, −2) ஆகும்.

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

(i) A(3,0) மற்றும் B( −5, 4) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி X என்க. மேலும் P( −11, −8) மற்றும் Q(8, −2) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி Y என்க. கோட்டுத் துண்டு XY இன் நடுப்புள்ளி காண்க.

(i) A(8, −5) மற்றும் B( −2,11), ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி (3,x) எனில் 'x' இன் மதிப்பு காண்க.

எடுத்துக்காட்டு 5.13

 (x,3), (6,y), (8,2) மற்றும் (9,4) என்பன வரிசையாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட இணைகரத்தின் உச்சிகள் எனில் x மற்றும் y இன் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு

A(x,3), B(6,y), C(8,2) மற்றும் D(9,4) என்பவை இணைகரம் ABCD இன் உச்சிகள் என்க. வரையறையின்படி, மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும்

AC இன் நடுப்புள்ளி = BD இன் நடுப்புள்ளி

[(x + 8) / 2 , (3 + 2) / 2 ] = [(6 + 9) / 2 , (y +4) / 2 ] 

இருபுறமும் ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது

(x +8 )/ 2 = 15 / 2

x + 8 = 15

x = 7

மற்றும்

5 / 2 = (y +4) / 2

5 = y + 4

y = 1

இதிலிருந்து, x = 7 மற்றும் y = 1.

சிந்தனைக்களம்

A(6,1), B(8,2) மற்றும் C(9,4) என்பன இணைகரம் ABCD இல் வரிசையாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட உச்சிகள். நடுப்புள்ளிக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நான்காவது உச்சி Dயைக் காண்க. (x_1, y₁) _, (x_2, y₂) , (x_3, y₃) மற்றும் (x_4, y₄) என்பன இணைகரத்தின் நான்கு முனைகள் எனில் மேற்காணும் புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி (x₁ + x₃  − x₂ , y₁ + y₃  − y₂) இன் மதிப்பு காண்க. மேலும் உமது விடைக்கான காரணத்தைக் கூறுக.

எடுத்துக்காட்டு 5.14

புள்ளிகள் A(−11,4) மற்றும் B(9,8) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளைக் காண்க.

தீர்வு

A(−11,4) மற்றும் B(9,8)ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை நான்கு சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P, Q, R என்க. இங்கு AP = PQ = QR = RB.

இங்கு AB இன் நடுப்புள்ளி Q, AQ இன் நடுப்புள்ளி P மற்றும் QB இன் நடுப்புள்ளி R என்க.

எனவே கோட்டுத்துண்டு AB ஐ நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகள் P( −6, 5), Q( −1, 6) மற்றும் R(4, 7) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.15

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் (5,1), (3, −5) மற்றும் ( −5, −1) எனில், அந்த முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

∅ABC இன் முனைகள் A(x_1, y₁)_, B(x_2, y₂) மற்றும் C( x_3, y₃) என்க. மேலும் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே (5,1), (3, −5) மற்றும் ( −5, −1) என்க.

(x₁ + x₂) / 2 = 5 ⇒ x₁ + x₂ = 10             ……....(1)

(x₂ + x₃) / 2 = 3 ⇒ x₂ + x₃ = 6                …….(2)

(x₃ + x₁) / 2 =  − 5 ⇒ x₃ + x₁= −10            …...(3)

 (1), (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது,

2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6

2 ஆல் வகுக்க,

x₁ + x₂ + x₃ = 3                  …...(4)

(4)  − (2)   ⇒  x₁ = 3 – 6 =  − 3

(4) – (3)    ⇒  x₂ = 3 + 10 = 13

(4)  − (1)    ⇒  x₃ = 3  − 10 =  − 7

(y₁ + y₂) / 2 =1    ⇒  y₁ + y₂  = 2           ……....(5)

(y₂ + y₃) / 2 =  − 5  ⇒  y₂ + y₃ = − 10            …….(6)

(y₃ + y₁) / 2 =  − 1   ⇒ y₃ + y₁ = −2         …...(7)

 (5), (6) மற்றும் (7) ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது,

2y₁ + 2y₂ + 2y₃ =  − 10

2 ஆல் வகுக்க,

y₁ + y₂ + y₃ =  −5                          …...(8)

(8)  − (6)   ⇒ y₁ =  − 5 + 10 = 5

(8) – (7)   ⇒ y₂ =  − 5 + 2 = − 3

(8)  − (5)  ⇒  y₃ =  −5  − 2 =  − 7

முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் A ( −3,5), B (13, −3) மற்றும் C( −7, −7) ஆகும்.

சிந்தனைக்களம்

(a₁,b₁), (a₂,b₂) மற்றும் (a₃,b₃) என்பன ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் என்க. எடுத்துக்காட்டு 5.15 ஐப் பயன்படுத்தி, (a₁ +a₃  − a₂, b₁ + b₃  − b₂), (a₁ +a₂ – a₃, b₁ + b₂ – b₃) மற்றும் (a₂ + a₃  − a₁ , b₂ + b₃ – b₁) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க. விடைகளை ஒப்பிடும்போது நீங்கள் அறிவது என்ன? உங்கள் விடைக்கான காரணத்தைத் தருக.