பிரிவுச் சூத்திரம் (Section Formula)

பிரிவுச் சூத்திரம் (Section Formula)

கோட்டுத் துண்டை இரு சமக்கூறிடுதல் மற்றும் மூன்று சமக்கூறிடுதல் பற்றிக் கற்றோம். இப்போது புள்ளிகள் (x₁ , y₁ ) (மற்றும் (x₂ , y₂) ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை m:n என்ற விகிதத்தில் பிரித்தலைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

ஒரு கோட்டுத்துண்டு AB மற்றும் ஒரு மிகை மெய் எண் r கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

நாம் AB ஐ r:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளி P இன் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண இருக்கின்றோம்.

அதாவது AP / PB = r / 1 அல்லது AP = r(PB) .

இதிலிருந்து x  − x₁ = r(x₂  − x)

இதைத் தீர்க்க x = ( rx₂ + x₁) / (r + 1)     ...... (1)

நாம் இந்த முடிவை ஒரு கோட்டின் மேல் அமைந்துள்ள எந்தவொரு புள்ளிக்கும் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்

AP: PB = r : 1 என எடுக்க, நாம் பெறுவது A'P' : P'B' = r :1.

எனவே A'P' = r(P'B')

ஆகவே, (x  − x₁) = r(x₂  − x)

இதிலிருந்து நாம் பெறுவது,

x = ( rx₂ + x₁ ) / (r + 1)        ……[(1) ஐப் பார்க்க ]

இதே வழியில் நாம் பெறுவது y = ( ry₂ + y₁) / (r + 1) 

A மற்றும் B இக்கு இடையில் P மற்றும் AP / PB = r , எனில் நாம் பெறும் வாய்ப்பாடு P ஆனது

. r ஆனது m/n என எடுக்கப்பட்டால், பிரிவுச் சூத்திரமானது [ ( mx₂ + nx₁ ) / (m + n) , ( my₂ + ny₁) / (m + n) ]  , எனக் கிடைக்கிறது. இதுவே நிலையான அமைப்பாகும்.

சிந்தனைக் களம்

(i) m = n = 1 எனில் நிகழ்வது என்ன? நாம் முன்பே நிறுவிய முடிவு ஒன்றை அடையாளம் காண முடிகிறதா?

(ii) AP: PB = 1 : 2 மற்றும் AQ : QB = 2:1 எனில் AP : AB என்ன ? AQ : AB என்ன ?

குறிப்பு

• புள்ளிகள் (x₁ , y₁ ) மற்றும் (x₂ , y₂) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை X −அச்சு பிரிக்கும் விகிதம்  − y₁ / y₂ மற்றும் Y −அச்சு பிரிக்கும் விகிதம்  − x₁ / x₂.

• மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் எனில், அவற்றின் ஒரு புள்ளி மற்ற இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை r : 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

• கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு கோட்டில் அமையும்பொழுது மட்டுமே பிரிவுச் சூத்திரம் பயன்படும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

• இந்தப் பிரிவுச் சூத்திரமானது ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம், உள்வட்ட மையம், வெளிவட்ட மையம் போன்றவற்றைக் காணப் பயன்படுகிறது. இயற்பியலில் இது பொருளின் பொருண்மை மையம், சமநிலைப் புள்ளிகள் போன்ற பலவற்றில் பயன்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5.17

புள்ளிகள் (3,5) மற்றும் (8, −10) ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A (3,5), B(8, −10) என்க. மேலும் புள்ளி P(x,y) ஆனது கோட்டுத் துண்டு AB ஐ 3:2 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி என்க.

பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,

இங்கு , x₁ = 3, y₁ = 5, x₂ = 8, y₂ = −10 மற்றும் m = 3, n = 2

ஆகையால்,

எடுத்துக்காட்டு 5.18

 A( −3,6) மற்றும் B(1, −2) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டைப் புள்ளி P( −2,4) ஆனது உட்புறமாக என்ன விகிதத்தில் பிரிக்கும்?

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A( −3, 6) மற்றும் B(1,  −2) ஆகும். P( −2, 4) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக m : n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது என்க.

பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி

 = P( −2,4)                             .....(1)

இங்கு x₁ =  −3, y₁ = 6, x₂ = 1, y₂ =  −2

 x  −இன் ஆயத்தொலைவைச் சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது (m  − 3n) / (m+n) =  −2 அல்லது m  − 3n =  −2m − 2n

3m = n

m / n = 1 / 3

m : n = 1: 3

P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது.

குறிப்பு

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் y இன் ஆயத்தொலைவுகளைச் சமப்படுத்தியும் இதே முடிவைப் பெறலாம். அதை முயன்று பார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.19

புள்ளிகள் A ( −3,5) மற்றும் B ஐ இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டைப் புள்ளி P( −2,3) ஆனது 1:6 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கின்றது எனில் B இன் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க?

 தீர்வு

புள்ளிகள் A( −3,5) மற்றும் B(x_{2 ,} y₂) என்க.

புள்ளி P( −2,3)ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:6 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி

ஆயத் தொலைவுகளைச் சமப்படுத்த

ஆகவே, புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகள் (4, −9) ஆகும்.