அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம்

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம் (Fundamental Theorem of Arithmetic) 

பின்வரும் ஆசிரியர் மற்றும் மாணவர்களது உரையாடலைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஆசிரியர் : 240 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்துக. 

மலர் : 24 × 10

இரகு : 8 × 30 

இனியா : 12 × 20 

குமார் : 15 × 16 

மலர் : யாருடைய விடை சரியானது ஐயா? 

ஆசிரியர் : எல்லோருடைய விடைகளும் சரிதான். 

இரகு : எப்படி ஐயா? 

ஆசிரியர் : ஒவ்வொரு காரணியையும் பகாக் காரணிகளாகப் பிரிக்கவும். 

மலர் : 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 5 

இரகு : 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 

இனியா : 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 5 

குமார் : 3 × 5 × 2 × 2 × 2 × 2  

ஆசிரியர் : நன்று! இப்போது உங்கள் விடையில் எத்தனை 2,3,5 வந்துள்ளன. 

மலர் : எனக்கு நான்கு 2, ஒரு 3 மற்றும் ஒரு 5 கிடைத்துள்ளது. 

இரகு : எனக்கு நான்கு 2, ஒரு 3 மற்றும் ஒரு 5 கிடைத்துள்ளது. 

இனியா : எனக்கும் நான்கு 2, ஒரு 3 மற்றும் ஒரு 5 கிடைத்துள்ளது. 

குமார் : எனக்கும் அதேதான் கிடைத்தது. 

மலர் : எங்கள் அனைவருக்கும் நான்கு 2, ஒரு 3 மற்றும் ஒரு 5 கிடைத்துள்ளது. இது மிகவும் ஆச்சரியமாக உள்ளது. 

ஆசிரியர் : ஆமாம். உண்மைதான். எந்த ஓர் எண்ணைப் பகாக் காரணிப்படுத்தினாலும் நமக்கு ஒரே விதமான பகாக் காரணிகள் தான் கிடைக்கும்.

மேற்கண்ட கருத்து நம்மைப் பின்வரும் முக்கியத் தேற்றத்திற்கு அழைத்துச் செல்கிறது. 

தேற்றம் 4 (அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம்) (நிரூபணம் இல்லாமல்) 

“1 ஐத் தவிர்த்து, அனைத்து மிகை முழுக்களையும் ஒரு பகா எண்ணாக அல்லது பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்த முடியும். மேலும் இந்த காரணிப்படுத்தலானது பகா எண்கள் எழுதப்படும் வரிசையைத் தவிர்த்து ஒரே முறையில் அமையும்.” 

ஒவ்வொரு பகு எண்ணும் பகாஎண்களின் பெருக்கல் பலனாகப் பிரிக்கப்படலாம் (மாற்றப்படலாம்) என்ற கருத்தை அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம் வலியுறுத்துகிறது. மேலும் இந்தப் பிரித்தல் தனித்தன்மை உடையது. அதாவது ஒரே விதமான பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாக மட்டுமே பிரித்து எழுத முடியும் என்று பொருள்.

பொதுவாக N என்ற பகு எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் N என்ற எண்ணை N  = p1q1  × p2q2  × p3q3  × …… × pnqn  என்ற ஒரே வழியில் மட்டுமே பிரித்து எழுத முடியும். இங்கு, p1, p2, p3,……. ,pn ஆகியவை பகா எண்கள் மற்றும் q1, q2, q3, …. qn ஆகியவை இயல் எண்கள்.

முதலில் நாம் N என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்த வேண்டும். ஒருவேளை N -யின் அனைத்துக் காரணிகளும் பகா எண்கள் எனில் நாம் இதோடு நிறுத்திக் கொள்ளலாம். அப்படியில்லையெனில் நாம் N -யின் காரணிகளில் உள்ள பகு எண்களைப் பகாக் காரணிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். அனைத்துக் காரணிகளும் பகாக் காரணிகளாகக் கிடைக்கும் வரை தொடர வேண்டும். 

சிந்தனைக் களம்

1 என்பது பகா எண்ணா?

விளக்கம்:

எடுத்துக்காட்டாக, 32760 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்த நாம் பெறுவது 

32760 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 13

= 23 × 32 × 51 × 71 ×131

எந்தெந்த வழிகளில் 32760ஐ காரணிப்படுத்தினாலும் முடிவில் நாம் பெறுவது மூன்று 2, இரண்டு 3, ஒரு 5, ஒரு 7 மற்றும் ஒரு 13 ஆகும்.

இதிலிருந்து நாம் பெறுவது "ஒவ்வொரு பகு எண்ணும் தனித்த பகா எண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுத இயலும்" இதுவே அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. __________ ஐத் தவிர்த்த மற்ற அனைத்து இயல் எண்களையும் _____ யின் பெருக்கற்பலனாக எழுத இயலும். 

2. ஒரு பகு எண்ணை எத்தனை வழிகளில் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுத இயலும்? 

3. எந்தவொரு பகா எண்ணிற்கும் உள்ள வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை ____________________.

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம் (Significance of the Fundamental Theorem of Arithmetic)

1-ஐ தவிர்த்து மற்ற இயல் எண்களுக்கான மேலே சொல்லப்பட்ட அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம், கணிதத்திலும் மற்ற துறைகளிலும் எண்ணற்ற பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இத்தேற்றம் அனைத்து மிகை முழுக்களையும் உருவாக்கும் அடிப்படைக் கட்டமைப்பாகப் பகா எண்கள் விளங்குவதால் கணிதத்தில் இதன் பயன்பாடு அளவற்றது. ஆகவே, பகா எண்களானது ஒரு மூலக்கூறை உருவாக்கும் அணுக்களோடு ஒப்பிடப்படுகிறது.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

1. ab ஐ p என்ற பகா எண் வகுக்கும் எனில், p ஆனது a ஐ வகுக்கும் அல்லது p - ஆனது b ஐ வகுக்கும். அதாவது p ஆனது a, b -ல் ஏதேனும் ஒன்றை வகுக்கும். 

2. ab ஐ n என்ற பகு எண் வகுக்கும் எனில், n ஆனது a -யையும் வகுக்க வேண்டியதில்லை b ஐயும் வகுக்க வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 6 ஆனது 4 × 3 ஐ வகுக்கும். ஆனால் 6 ஆனது 4 ஐயும் வகுக்காது 3 ஐயும் வகுக்காது.

எடுத்துக்காட்டு 2.7 

கொடுக்கப்பட்ட காரணி பிரித்தலில், m மற்றும் n என்ற எண்களைக் காண்க. 

தீர்வு 

கீழிருந்து முதல் பெட்டியின் மதிப்பு = 5 × 2 = 10

n -யின் மதிப்பு = 5 × 10 = 50 

கீழிருந்து இரண்டாம் பெட்டியின் மதிப்பு = 3 × 50 = 150

m -யின் மதிப்பு = 2 × 150 = 300 

ஆகவே, தேவையான எண்கள் m = 300, n = 50

எடுத்துக்காட்டு 2.8 

6n ஆனது, n. ஓர் இயல் எண் என்ற வடிவில் அமையும் எண்கள் 5 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியுமா? உனது விடைக்குக் காரணம் கூறுக.

தீர்வு 

6n = (2 × 3)n = 2n × 3n என்பதால்,

2 என்பது 6n -யின் ஒரு காரணியாகும். 

எனவே, 6n ஓர் இரட்டைப்படை எண் ஆகும். ஆனால், கடைசி இலக்கம் 5 -யில் முடியும் எண்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படை எண்கள் ஆகும்.

ஆகவே, 6n - யின் கடைசி இலக்கம் 5 என முடிய வாய்ப்பில்லை.

முன்னேற்றச் சோதனை

m ஆனது n ஐ வகுக்கும் எனில் m மற்றும் n-யின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம _______ மற்றும் ____________ ஆகும்.

1. 2m மற்றும் 3n என்ற வடிவில் அமையும் எண்களின் மீ.பொ.வ ________.

எடுத்துக்காட்டு 2.9 

7 × 5 × 3 × 2 + 3 என்பது ஒரு பகு எண்ணா ? உனது விடையை நியாயப்படுத்துக.

தீர்வு 

ஆம். கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பகு எண்ணாகும், ஏனெனில்,

7 × 5 × 3 × 2 + 3 = 3 × (7 × 5 × 2 + 1) = 3 × 71 

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணானது இரு பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தப்படுவதால், அது ஒரு பகு எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.10 

ab ×ba = 800 என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் ‘a’ மற்றும் ‘b' ஐ காண்க. 

தீர்வு 

800 என்ற எண்ணைக் காரணிப்படுத்தும்போது, நாம் பெறுவது

800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 25 × 52

ஆகவே, ab ×ba = 25 × 52 

இதிலிருந்து நாம் பெறுவது. a = 2, b = 5 (அ) a = 5, b = 2.

சிந்தனைக் களம்

ab = ba எனுமாறு அமையும் மிகை முழுக்கள் a, b -ஐ க்காண இயலுமா? 

செயல்பாடு 3 

p2 × q1 × r4 × s3 = 3,15,000 என்றவாறு அமையும் 'pqrs' என்ற நான்கு இலக்கப் பணப்பரிவர்த்தனை அட்டையின் இரகசிய எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க இயலுமா?