பெருக்குத்தொடர் வரிசை

பெருக்குத்தொடர் வரிசை (Geometric Progression)

படத்தில் உள்ள ΔDEF ஆனது ΔABC -யின் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்து அமைக்கப்பட்டுள்ளது. அப்படியெனில் ΔDEF -யின் பரப்பானது ΔABC -யின் பரப்பில் நான்கில் ஒரு பங்கு ஆகும். இதுபோலவே ΔGHI -யின் பரப்பானது ΔDEF -யின் பரப்பில் நான்கில் ஒரு பங்கு ஆகும் மற்றும் மற்ற சிறிய முக்கோணங்களுக்கும் இது போலவே தொடரும். பொதுவாக, ஒவ்வொரு சிறிய முக்கோணத்தின் பரப்பும் அதற்கு முந்தைய பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பில் நான்கில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.

இந்த முக்கோணங்களின் பரப்பானது

இந்த உதாரணத்தில் நாம் ΔABC-யில் தொடங்குகிறோம். அடுத்தடுத்த முக்கோணங்களின் பரப்பானது முந்தைய முக்கோணத்தின் பரப்பில் நான்கில் ஒரு பங்காக உள்ளது. அதாவது ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை 1/4 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கிறது.

வைரஸினால் பரவும் நோய்களைப் பற்றிய மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருதுவோம். ஒரு வைரஸ் நோயானது ஒவ்வொரு நிலையிலும் ஒரு பாதிக்கப்பட்ட நபரிடமிருந்து இரு புதிய நபர்களுக்குப் பரவுகிறது. முதல் நிலையில் ஒரு நபர் பாதிக்கப்படுகிறார், இரண்டாம் நிலையில் இரு நபர்கள் பாதிக்கப்படுகின்றனர், மூன்றாம் நிலையில் நான்கு நபர்கள் பாதிக்கப்படுகின்றனர் மற்றும் இவ்வாறே தொடர்கிறது. ஒவ்வொரு நிலையிலும் பாதிக்கப்பட்ட நபர்களின் எண்ணிக்கையானது 1, 2, 4, 8, ... என்றவாறு அமைகிறது. இங்கு முதல் உறுப்பைத் தவிர, ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பின் இரு மடங்கு ஆகும்.

மேற்கண்ட இரு உதாரணங்களிலிருந்து, ஒவ்வோர் உறுப்பும் அதற்கு முந்தைய உறுப்பை ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால் கிடைக்கிறது என்பதை நாம் தெளிவாக அறியலாம். இந்தக் கருத்துகள் நம்மை பெருக்குத் தொடர்வரிசை என்ற புதிய கோட்பாட்டிற்கு அழைத்துச் செல்கின்றன. 

வரையறை: 

முதல் உறுப்பைத் தவிர்த்து மற்ற உறுப்புகள் அனைத்தும் அதற்கு முந்தைய உறுப்பை ஒரு பூச்சியமற்ற மாறாத எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும் தொடர்வரிசையானது, பெருக்குத் தொடர்வரிசை எனப்படும். இந்த மாறாத எண் பொது விகிதம் எனப்படும். பொது விகிதம் வழக்கமாக r எனக் குறிக்கப்படும். 

1. பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் (General form of Geometric Progression)

a மற்றும் r ≠ 0 என்பன மெய்யெண்கள் என்க. a, ar , ar2 , ... arn-1... என்ற வடிவில் அமையும் எண்களைப் "பெருக்குத் தொடர்வரிசை'' (Geometric Progression). என்கிறோம். இங்கு ‘a' என்பது முதல் உறுப்பு (First term) என்றும் 'r' என்பது பொது விகிதம் (Common ratio) என்றும் அழைக்கப்படும். முதல் உறுப்பு ‘a' -யில் தொடங்கி பொது விகிதம் ‘r' என்ற எண்ணால் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது ar, ar 2, ar 3,... என்பதை கவனத்தில் கொள்வோம். 

2. பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு (General term of Geometric Progression)

பொது விகிதத்தில் அமைந்த ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் n -வது உறுப்பு அல்லது பொது உறுப்பைக் காண ஒரு சூத்திரத்தைக் காண்போம்.

a, ar , ar2 ,..., arn-1, ... இங்கு, 'a' என்பது முதல் உறுப்பு மற்றும் 'r' என்பது பொது விகிதம். tn என்பது பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் n- வது உறுப்பு என்க.

t1 = a = a × r0   = a × r1−1

t2 = t1 × r = a × r = a × r2−1

t3 = t2 × r = ar × r = ar2 = ar3−1

:            :

tn = tn −1 × r = arn −2 × r = arn −2+1 = ar n−1

ஆகவே, பெருக்குத்தொடர் வரிசையின் பொது உறுப்பு அல்லது n -வது உறுப்பு tn = arn-1

குறிப்பு

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதத்தைக் கருதினால், நாம் பெறுவது,

ஆகவே, பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதம் எப்போதும் ஒரு மாறிலியாகத்தான் இருக்கும். இந்த மாறிலிதான் அந்தத் தொடர்வரிசையின் பொது விகிதமாகும்.

முன்னேற்றச் சோதனை 

1. ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையானது முந்தைய உறுப்பை ஒரு _____________ ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கிறது. 

2. ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதம் ___ மற்றும் இது _____________ என அழைக்கப்படுகிறது. 

3. பின்வரும் பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளில் விடுபட்ட எண்களைக் காண்க. 

(i) 1/8, 3/4, 9/2, ___  

(ii)7, 7/2, ___ 

(iii) ___, 2√2, 4,....

எடுத்துக்காட்டு 2.40 

பின்வரும் தொடர்வரிசைகளில் எவை பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும்?

(i) 7, 14, 21, 28, ... 

(ii) 1/2, 1, 2, 4, ...

(iii) 5, 25, 50, 75, .... 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசை, பெருக்குத் தொடர்வரிசையா எனக் கண்டறிய அவற்றின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதம் சமமாக உள்ளதா எனக் கண்டறிய வேண்டும். 

(i) 7, 14, 21, 28, ...

அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 7, 14, 21, 28,.... என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையல்ல. 

(ii) 1/2, 1, 2, 4, ...

இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமம் என்பதால் 1/2, 1, 2, 4, ... என்ற தொடர்வரிசையின் பொது விகிதம் r = 2 என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும். 

(iii) 5, 25, 50, 75, .... 

அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 5, 25, 50, 75,... என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையல்ல.

சிந்தனைக் களம் 

என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகுமா? 

எடுத்துக்காட்டு 2.41 

பின்வருவனவற்றின் முதல் உறுப்பு மற்றும் பொதுவிகிதம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதனுடைய பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளைக் காண்க. 

(i) a = −7, r = 6

(ii) a = 256, r = 0.5

தீர்வு 

(i) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar2 ,.. .

a = −7, ar = −7 × 6 = −42, ar2  = −7 × 62  = −252

எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை -7, - 42, - 252,.... 

(ii) பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, ar, ar2 ,.. .

a = 256, ar = 256 × 0.5 = 128, ar2  = 256 ×(0.5)2  = 64

எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை 256,128, 64,.....

முன்னேற்றச் சோதனை

1. முதல் உறுப்பு = a, பொது விகிதம் = r, எனில், t9 மற்றும் t27 ஐக் காண்க. 

2. ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் t1 = 1/5 மற்றும் t2 = 1/25 எனில், பொது விகிதம் ______________.

எடுத்துக்காட்டு 2.42 

9, 3, 1,.... என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க. 

தீர்வு 

8-வது உறுப்பைக் காண tn  = arn−1 என்ற n -வது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

முதல் உறுப்பு a = 9, பொது விகிதம் r =

எனவே, பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பு 1/243.

எடுத்துக்காட்டு 2.43 

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 4-வது உறுப்பு 8/9 மற்றும் 7-வது உறுப்பு 64/243 எனில், அந்தப் பெருக்குத் தொடர்வரிசையைக் காண்க. 

தீர்வு 

r-யின் மதிப்பைச் சமன்பாடு (1) -யில் பிரதியிட, a × [2/3]3 = 8/9 ⇒ a = 3

எனவே, தேவையான பெருக்குத் தொடர்வரிசை a, ar, ar2 , … அதாவது, 3, 2, 4/3,…

குறிப்பு 

• ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த மூன்று உறுப்புகளை நாம் a/r, a, ar என எடுத்துக்கொள்ளலாம். 

• ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் தொடர்ச்சியான நான்கு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த நான்கு உறுப்புகளை நாம் a/r3, a/r, ar, ar3 என எடுத்துக்கொள்ளலாம். 

• ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொர் உறுப்பையும் ஒரு பூச்சியமற்ற மாறிலியால் பெருக்கினால் அல்லது வகுத்தால் கிடைக்கும் தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.44 

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் 343 மற்றும் அவற்றின் கூடுதல் 91/3 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க. 

தீர்வு 

அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் அந்த மூன்று உறுப்புகளை நாம் a/r, a , ar என எடுத்துக் கொள்வோம்.

உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் = 343 

உறுப்புகளின் கூடுதல் = 91/3

ஆகவே,

3 + 3r + 3r2 = 13r         ⇒ 3r2 − 10r + 3 = 0

(3r - 1) (r - 3) = 0          ⇒ r = 3 அல்லது  r = 1/3

a = 7, r = 3 எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 7/3, 7, 21.

a = 7, r = 1/3 எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 21, 7, 7/3.

சிந்தனைக் களம்

1. 64 என்ற எண்ணைப் பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த மூன்று எண்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுதுக.

2. a, b, c, ... என்பது பெருக்குத் தொடர்வரிசை எனில், 2a, 2b, 2c,.... என்பது ஒரு ____________

3. 3, x, 6.75 என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை எனில், x -யின் மதிப்பு ________________

முன்னேற்றச் சோதனை

a, b, c என்ற மூன்று பூச்சியமற்ற எண்கள் பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ________.

மூன்று எண்கள் பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமைய நிபந்தனை 

a, b, c என்ற எண்கள் பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமையுமெனில், b = ar, c = ar2 

எனவே, ac = a × ar2  = (ar)2 = b2 . ஆகவே, b2  = ac

இதுபோலவே, b2 = ac, எனில், b/a = c/b. எனவே, a, b, c என்பன பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமையும்.

ஆகவே, a, b, c என்ற மூன்று பூச்சியமற்ற எண்கள் பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமையும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே b2 = ac. 

எடுத்துக்காட்டு 2.45 

ஓர் இயந்திரத்தின் தற்போதைய மதிப்பு 40,000 மற்றும் ஒவ்வொரு வருடமும் அதன் மதிப்பு 10% குறைகிறது. 6-வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் தோராய மதிப்பைக் காண்க. 

தீர்வு 

இயந்திரத்தின் தற்போதைய மதிப்பு ₹40,000. அதன் மதிப்பு ஒவ்வொரு வருட முடிவில் 10% குறையும் என்பதால், முதல் வருட முடிவில் அதன் மதிப்பு ஆரம்ப மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.

அதாவது முதல் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு 40,000 × (90/100) ஆகும். 

இரண்டு வருடம் கழித்து இயந்திரத்தின் மதிப்பானது முதல் வருட மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.

இரண்டாம் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பானது 40,000 × [90/100]2 ஆகும். 

இந்த வகையில் தொடர்ந்தால், இயந்திரத்தின் மதிப்பு பின்வருமாறு குறைகிறது.

இந்தத் தொடர்வரிசை முதல் உறுப்பு 40,000 மற்றும் பொது விகிதம் 90/100 உடைய ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும். 

6வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பைக் காண (5வது வருட முடிவில்), பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 6-வது உறுப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.

ஆகவே, n=6, a=40,000, r = 90/100 

எனவே, 6-வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு = ₹23619.60