இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல்

இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல்

இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல் செய்யும் போது கீழ்காணும் வழிமுறைகளை நாம் பின்பற்ற வேண்டும். 

படி 1: உறுப்புகளின் குறிகளைப் பெருக்க வேண்டும். அதாவது ஒத்தக் குறிகளைப் பெருக்கும்போது மிகைக் குறியே வரும். மாறுபட்ட குறிகளைப் பெருக்கும்போது குறைக் குறியே வரும்.

படி 2: உறுப்புகளின் கெழுக்களைப் பெருக்க வேண்டும். 

படி 3: அடுக்குக்குறி விதிகளைப் பயன்படுத்தி மாறிகளைப் பெருக்க வேண்டும்.

இங்கு x என்பது மாறி மற்றும் m, n என்பது மிகை முழுக்கள் எனில்,

xm × xn = xm+n 

எடுத்துக்காட்டு:  x3 × x4 = x3+4  = x7

சிந்திக்க 

ஒவ்வொரு இயற்கணிதக் கோவையும் பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும். இக்கூற்று சரியா? ஏன்?

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை என்பது இயற்கணிதக் கோவையின் சிறப்பு வகையாகும். ஓர் இயற்கணிதக் கோவைக்கும், பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு

இயற்கணிதக் கோவை 

மாறிகளின் அடுக்கு முழு எண்ணாகவோ, பின்னமாகவோ, குறை குறி உடையதாகவோ இருக்கலாம். 

எடுத்துக்காட்டு: 4x3/2 – 3x + 9

2y2 + (5/y) – 3, 3x2 – 4x + 1

பல்லுறுப்புக் கோவை. 

மாறிகளின் அடுக்கு ஒரு முழு எண்ணாக மட்டுமே இருக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு: 4x2 – 3x + 9

2y6 + 5y3 – 3

குறிப்பு

இரண்டு உறுப்புகளின் பெருக்கலை ( ) அல்லது புள்ளி (.) அல்லது × என்ற குறிகளால் குறிப்பிடுவோம்.

(எ.கா) 4x2 மற்றும் xy ன்பெருக்கலைக் கீழ்காணும் ஏதேனும் ஒரு வழியில் நாம் குறிப்பிடுவோம். 

1. இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட ஓருறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கல்

கீதா 3 எழுதுகோல்களை ஒவ்வொன்றும் ₹5 வீதம் வாங்கினாள் எனில், கடைக்காரருக்கு அவள் எவ்வளவு பணம் தரவேண்டும்?

கீதா கடைக்காரருக்குக் கொடுக்க வேண்டிய தொகை = 3 × ₹5

= ₹15

எழுதுகோல்களின் எண்ணிக்கை x மற்றும் ஒரு எழுதுகோலின் விலை ₹.y எனில், பிறகு ஒவ்வொறு எழுதுகோலும் ₹ 5y வீதம் கீதா வாங்கிய (3x2) எழுதுகோல்களின் மொத்த விலை

= (3x2) × 5y 

= (3 × 5)(x2 × y) 

= ₹ 15 x2 y

எடுத்துக்காட்டு 3.1

ஒரு செவ்வக வடிவ ஓவியத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம் முறையே 4xy3 மற்றும் 3x2y எனில், அதன் பரப்பளவைக் காண்க. 

தீர்வு: 

செவ்வக வடிவ ஓவியத்தின் பரப்பளவு, A = (நீளம் × அகலம்) சதுர அலகுகள் 

= (4xy3) × (3x2y) 

= (4 × 3)(x × x2)(y3 × y)

A = 12x3 y4 சதுர அலகுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 3.2

2x2y2, 3y2 z மற்றும் – z2x3 ஆகியவற்றின் பெருக்கல்பலன் காண்க.

தீர்வு:

இங்கு , (2x2y2) × (3y2 z) × (–z2x3)

= (+) × (+) × (–) (2 × 3 × 1)(x2  × x3) (y2 × y2) (z × z2)

= –6x5y4 z3.

இவற்றை முயல்க

பெருக்கல் பலன் காண்க.

(i) 3ab2 , –2a2b3 

(ii) 4xy , 5y2x , (–x2)

(iii) 2m, –5n, –3p 

2. ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையை ஓருறுப்புக் கோவையுடன் பெருக்குதல்

ஒரு வீதியில் 'a' எண்ணிக்கையில் கடைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு கடையிலும் 8 கூடைகளில் 'x' ஆப்பிள்கள் வீதமும்,3 கூடைகளில் 'y'   ஆரஞ்சுக்கள் வீதமும் மற்றும் 5 கூடைகளில் ‘z’ வாழைப்பழங்கள் வீதமும் உள்ளன எனில், கடைகளிலுள்ள ஆப்பிள், ஆரஞ்சு மற்றும் வாழைப்பழங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை :

= a (8x) + a (3y) + a (5z)

= 8ax + 3ay + 5az 

குறிப்பு 

பங்கீட்டுப் பண்பு

a என்பது ஒரு மாறிலி, x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள் எனில், பிறகு a(x + y) = ax + ay 

எடுத்துக்காட்டு: 5(x + y) = 5x + 5y

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஓருறுப்புக் கோவை × ஓருறுப்புக் கோவை = ஓருறுப்புக் கோவை 

ஈறுருப்புக் கோவை × ஓருறுப்புக் கோவை = ஈறுருப்புக் கோவை

ஈறுருப்புக் கோவை × ஈறுருப்புக் கோவை = ஈறுருப்புக் கோவை / பல்லுறுப்புக் கோவை 

பல்லுறுப்புக் கோவை × ஓருறுப்புக் கோவை = பல்லுறுப்புக் கோவை

எடுத்துக்காட்டு 3.3

3x2y மற்றும் (2x3y3 – 5x2y + 9xy) ஐப் பெருக்குக 

தீர்வு: 

இங்கு,

= 3x2y (2x3y3) – 3x2y(5x2y) + 3x2y(9xy) 

பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஓருறுப்புக் கோவையால் பெருக்குக.

= (3 × 2)(x2  × x3) (y × y3) – (3 × 5) (x2  × x2) (y × y) + (3 × 9) (x2 × x) (y × y) 

= 6x5y4 – 15x4y2 + 27x3y2

சிந்திக்க: 3 + (4x – 7y) ≠ 12x – 21y ஏன்?

எடுத்துக்காட்டு 3.4

ஒரு வங்கியில் ராம் என்பவர் 'x' எண்ணிக்கையில் ₹ 2000 தாள்களும் 'y' எண்ணிக்கையில் ₹500 தாள்களும், z எண்ணிக்கையில் ₹100 தாள்களும் முதலீடு செய்தார். மேலும் வேலன் என்பவர் ராம் செய்த முதலீட்டைப் போன்று 3xy மடங்கு முதலீடு செய்தார் எனில், அவ்வங்கியில் வேலன் முதலீடு செய்த தொகை எவ்வளவு? 

தீர்வு: 

ராம் முதலீடு செய்த தொகை

= (x × ₹2000 + y × ₹500 + z × ₹100)

= ₹ (2000x + 500y + 100z ) 

வேலன் முதலீடு செய்த தொகை = 3xy மடங்கு × ராம் முதலீடு செய்த தொகை

= 3xy × (2000x + 500y + 100z) 

= (3 × 2000) (x × x × y) + (3 × 500) (x × y × y) + (3 × 100) (x × y × z) 

= ₹(6000x2y +1500xy2 + 300xyz)

இவற்றை முயல்க

(i) (5x2 + 7x – 3) ஐ 4x2 ஆல் பெருக்குக. 

(ii) (10x –7y + 5z) ஐ 6xyz ஆல் பெருக்குக. 

(iii) (ab + 3bc – 5ca) ஐ –3a2bc ஆல் பெருக்குக. 

(iv) (4m2 – 3m + 7) ஐ –5m3 ஆல் பெருக்குக.

3. ஈறுருப்புக் கோவைகளின் பெருக்கல்

ஒரு செவ்வக வடிவ மலர்ப்படுகையின் உண்மையான நீளத்திலிருந்து 5 அலகுகள் குறைத்தும், உண்மையான அகலத்திலிருந்து 3 அலகுகள் அதிகரித்தும் இருக்கும்போது, செவ்வக வடிவ மலர்ப்படுகையின் பரப்பளவு என்ன?

ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = l × b 

இங்கு, செவ்வக வடிவ மலர்ப்படுக்கையின் பரப்பளவு A = (l – 5) × (b + 3) சதுர அடிகள் 

இதனை, எவ்வாறு பெருக்குவது?

இப்போது இரண்டு ஈருறுப்புக் கோவைகளை எவ்வாறு பெருக்குவது எனக் கற்றுக் கொள்வோம்.

(x + y) மற்றும் (p + q) ஆகியவை இரண்டு ஈருறுப்புக் கோவைகள் எனக் கொள்க. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளவாறு அவற்றின் பெருக்கற்பலனைக் காணலாம்.

எனவே, மேலே கூறிய செவ்வக வடிவ மலர்ப்படுக்கையின் பரப்பளவு 

(கிடைமட்ட பங்கீட்டு முறை) A = (l – 5) × (b + 3)

= l (b+3) – 5(b+ 3)

A = (lb + 3l – 5b – 15) சதுர அலகுகள்

மாற்று முறை

கட்டக முறை 

= (lb + 3l – 5b – 15)

நாம் மேலும் ஓர் எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம். கொடுக்கப்பட்டப் படத்தினைப் பார்க்க, சதுரம் OABC இல், OA= 4 அலகுகள் ; OC = 4 அலகுகள்

சதுரம் OABC இன் பரப்பளவு = 4 × 4

A = 16 சதுர அலகுகள் 

சதுரத்தின் அடுத்தடுத்த பக்கங்களை முறையே 'x' அலகுகள் மற்றும் 'y' அலகுகள் நீட்டிக்கப்படுகிறது எனக் கொள்க.

இப்போது OD = (4 + x) அலகுகள் மற்றும் OF = (4 + y) அலகுகள் பக்கங்களைக் கொண்ட ODEF என்ற செவ்வகத்தை நாம் பெறுகிறோம்.

இங்கு, செவ்வகம் ODEF ன் பரப்பளவு

 (FOIL முறை)              A = 16 + 4y + 4x + xy சதுர அலகுகள்  மாறுபட்ட உறுப்புகள், கூட்டமுடியாது

எடுத்துக்காட்டு 3.5

 (2x + 5y) மற்றும் (3x – 4y) ஐப் பெருக்குக

தீர்வு:

கிடைமட்ட பங்கீட்டு முறையில் பெருக்க,

= 6x2 – 8xy +15xy – 20y2

= 6x2 +7xy – 20y2 (ஒத்த உறுப்புகளைச் சுருக்குக)

மாற்று முறை

கட்டக முறையில் பெருக்க

= 6x2 – 8xy +15xy – 20y2

= 6x2 +7xy – 20y2 

சிந்திக்க

(i) 3x2 (x4 – 7x3 + 2), என்ற கோவையின் உயர்ந்த அடுக்கு என்ன? 

(ii) –5y2  + 2y – 6  = – (5y2 +2y – 6) 

என்பது சரியா? 

தவறு எனில், சரி செய்க.

இவற்றை முயல்க

(i) (a – 5) மற்றும் ( a + 4)

(ii) (a + b) மற்றும் (a – b)

(iii) (m4 + n4) மற்றும் (m – n)

(iv) (2x + 3) மற்றும் (x – 4) 

(v) (3x + 7) மற்றும் (x – 5)

(vi) (x – 2) மற்றும் (6x – 3)