ஒருபுற எல்லைகள் (One sided limits)

ஒருபுற எல்லைகள் (One sided limits)

வரையறை 9.2

x−ன் மதிப்பு தேவையான அளவு x0 −க்கு அருகிலும் x0 −ஐ விடக் குறைவாகவும் இருக்கும்போது f(x)−ன் மதிப்பு l1, க்கு மிக அருகில் இருக்கும் எனில், x−ன் மதிப்பு x0 −ஐ நெருங்கும்போது f(x)−ன் இடப்பக்க எல்லை (x இடப்பக்கமிருந்து x0 −ஐ நெருங்கும்போது f(x)−ன் எல்லை) எனக் கூறலாம்.

இதேபோன்று

வரையறை 9.3

x−ன் மதிப்பு தேவையான அளவு x0 −க்கு அருகிலும் x0 −ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கும்போது f(x)−ன் மதிப்பு l2−க்கு மிக அருகில் இருக்கும் எனில், x−ன் மதிப்பு x0 −ஐ நெருங்கும்போது f(x)−ன் வலப்பக்க எல்லை (x வலப்பக்கமிருந்து x0 −ஐ நெருங்கும்போது f(x)−ன் எல்லை) எனக்கூறலாம். 

மேலும் x < x0 மற்றும் x > x0 என்பவை முறையே “x → x0− ” மற்றும் எனக் “x → x0+ ”  குறிக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறைகள் 9.6 முதல் 9.9 வரையிலான படங்கள் மூலம் விளக்கப்பட்டுள்ளன.

x−ன் மதிப்பு x0 −ஐ நெருங்கும்போது f(x)−ன் எல்லை மற்றும் ஒருபுற எல்லைகளின் வரையறைகளிலிருந்து பின்வருவனவற்றை பெறலாம்.

இவ்வாறாக, கிடைக்கப்பெறும் எனில் L ஒரு தனித்த மெய்யெண்ணாகும். மேற்கண்ட நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நிறைவு செய்யவில்லை எனில் x−ன் மதிப்பு x0−ஐ நெருங்கும்போது f(x)−க்கு எல்லை மதிப்பு இல்லை எனலாம்.

ஒருபுற எல்லைகள், எல்லைகளைவிட வலுக்குறைந்தவையாகும் என்பதனைக் கவனத்தில் கொள்ளவும். ஒருபுற எல்லைகளைக் காண கீழ்க்காண்பவை பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

h > 0 எனில்,

குறிப்பாக f(x0−) மற்றும் f(x0+) ஆகியவை முறையே இடப்புற மற்றும் வலப்புற எல்லைகளைக் குறிக்கும்போது f(x0) என்பது x = x0 என்ற புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 9.1