தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள்: இயற்பியல் : அலைவுகள்

அலைவுகள் (இயற்பியல்)

எண்ணியல் கணக்குகள்

1. புவியை சமச்சீரான R ஆரமுடைய கோளகப் பொருளாக கருதி, அதன் மையத்தின் வழியே நேரான துளையிடப்படுகிறது. அத்துளையில் தானாக விழும் ஒரு துகள் சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் எனவும் அதன் அலைவு நேரம் எனவும் காட்டுக.

விடை: 

புவி சமச்சீரான கோளம் அதன் மையம் O ஆரம் R என்க. 

புவிப்பரப்பில் ஈர்ப்பு முடுக்கம் = g 

துளைக்குள் விழும் துகளின் நிறை = m 

t காலத்தில் துகள் விழுந்த ஆழம் = d 

புவியின் மையத்தை நோக்கி செல்லும் போது ஈர்ப்பு முடுக்கம் குறையும்.

புவியின் மையத்திலிருந்த தொலைவு y எனில் 

y = ஆரம் - தொலைவு 

சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட g' = g(y/R) 

புதிய ஈர்ப்பு முடுக்கத்தால் (g') பொருளின் மீதான  F = mg' = mg y/R

துளைக்குள் தானாக விழும் துகள் சீரிசை இயக்கத்தில் உள்ளது எனில் சுருள் மாறிலி 

2. கிடைத்தளத்துடன் 45° கோணம் ஏற்படுத்தும் சாய்தளத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ள உருளும் டிராலியில் l = 0.9 m நீளமுள்ள தனிஊசல் முறையாக பொருத்தப் பட்டுள்ளதாக கொள்வோம். சாய்தளமானது உராய்வற்றது எனில் தனிஊசலின் அலைவுக்காலத்தை கணக்கிடுக. 

விடை : 

தனிஊசலின் நீளம் l = 0.9 m 

கிடைத்தளத்துடன் சாய்தளத்தின் கோணம் θ = 45°

தனிஊசலின் அலைவு நேரம் = T = ?

T = 2.63 s 

3. ρ அடர்த்தி கொண்ட திரவத்தின் மீது m நிறை கொண்ட மரக்கட்டை மிதந்து கொண்டிருக்கிறது. அக்கட்டை இலேசாக கீழ்நோக்கி அமுக்கப்பட்டு விடப்படும் போது சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது.

இதன் அலைவுநேரம்   எனக் காட்டுக.

விடை : 

திரவத்தின் சுருள் மாறிலி (Spring Factor) = Aρg 

மரக்கட்டையின் நிலைம மாறிலி

(Inertial Factor) = m

4. ஒத்த அதிர்வெண்ணும் வெவ்வேறான வீச்சுகளும் கொண்ட இரு சீரிசை இயக்கங்கள் x மற்றும் y அச்சுகளின் வழியே x = A sin (ωt + φ) (x அச்சின் வழியாக) மற்றும் y = B sin ωt (y அச்சின் வழியாக) என்ற வீச்சுகளுடன் இயக்க மடைகிறது எனக் கொள்க. 

எனக் காட்டுக.

ஆகிய சிறப்பு நிகழ்வுகளையும் விவாதிக்க. 

குறிப்பு : துகளானது ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக செயல்படும் இரு சீரிசை இயக்கங்களுக்கு உட்படுத்தப்படும் போது துகளானது வேறுபாதையின் வழியாக இயக்கமடையும், அப்பாதையே லிசாஜோ படம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விடை:

a) y = B/A x என்ற சமன்பாடு ஆதிவழிச் செல்லும் நேர்மறை சாய்வுடன் கூடிய நேர்க்கோட்டுச் சமன்பாடாகும்.

b) y = -B/Ax என்ற சமன்பாடு ஆதிவழிச் செல்லும் எதிர்மறை சாய்வுடன் கூடிய நேர்க்கோட்டுச் சமன்பாடாகும்.

c) x2 / A2 + y2 / B2 = 1 என்ற சமன்பாடு நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடாகும். அதன் மையம் ஆதியில் அமையும்.

d) x2 + y2 = A2, என்ற சமன்பாடு வட்டத்திற்கான சமன்பாடாகும். அதன் மையம் ஆதியில் அமையும்.

e)   என்பது நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடாகும். (சாய்ந்த நீள்வட்டம்)

5. தனிச்சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் துகளின் 

a) இயக்க ஆற்றலின் சராசரி மதிப்பானது நிலையாற்றலின் சராசரி மதிப்பிற்குச் சமம் 

b) சராசரி நிலையாற்றல் = சராசரி இயக்க ஆற்றல் = 1/2 (மொத்த ஆற்றல்) எனக் காட்டுக. 

குறிப்பு :  சராசரி இயக்க ஆற்றல்

விடை :

6. கீழ்க்காணும் அமைப்பில் நிறை M ஆனது சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி சிறிது இடம் பெயர்ச்சி செய்து பின் விடப்பட்டால் அலைவு நேரத்திற்கான சமன்பாட்டை கணக்கிடுக. (கப்பி மெல்லியது மற்றும் உராய்வற்றது மேலும் கம்பியும் சுருள்வில்லும் லேசானது) 

குறிப்பு:  மற்றும் விடைகள்

நேர்வு (a) : 

இங்கு கப்பியானது சுருள் வில்லினுள் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. நிறையானது y - க்கு நீட்சி அமையும்.

எனவே, F = T = ky

நேர்வு (b) :

நிறை y க்கு இடம் பெயர்ந்தால், கப்பி y அளவு நீட்சி அடையும்.

T = 4ky

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள்

எடுத்துக்காட்டு 10.1

கீழ்க்காணும் இயக்கங்களில், சீரலைவு மற்றும் சீரற்ற அலைவு இயக்கங்களை வகைப்படுத்துக.

(a) ஹேலியின் வால்மீன் (Halley's comet) 

(b) மேகங்களின் இயக்கம் 

(c) புவியைச் சுற்றிவரும் சந்திரனின் இயக்கம்.

தீர்வு 

(a) சீரலைவு இயக்கம் 

(b) சீரற்ற அலைவு இயக்கம் 

(c) சீரலைவு இயக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 10.2 

கீழ்க்கண்ட சார்புகளில், எந்த சார்பு காலத்தைப் பொருத்து சீரலைவு மற்றும் சீரற்ற அலைவு இயக்கத்தைக் குறிக்கும்? 

(a) sin ωt + cos ωt

(b) In ωt

தீர்வு 

(a) சீரலைவு இயக்கம் 

(b) சீரற்ற அலைவு இயக்கம்

தனிச்சீரிசை இயக்கத்தில் இடப்பெயர்ச்சி, திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் அவற்றிற்கான வரைபட விளக்கம் – SHM

எடுத்துக்காட்டு 10.3 

கீழ்கண்டவற்றுள் எந்த சமன்பாடு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தை குறிக்கிறது?

(i) x = A sin wt + B cos wt 

(ii) x = A sin wt + B cos 2wt 

(iii) x = Aeiwt 

(iv) x = A ln wt

தீர்வு :

(i) x = A sin ωt + B cos ωt

இந்த வகைக்கெழுச்சமன்பாடு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு போன்று உள்ளது (சமன்பாடு 10.10)

எனவே, x = A sin ωt + B cos ωt

தனிச்சீரிசை இயக்கத்தினைக் குறிக்கும்.

(ii) x = A sin ωt + B cos ωt 

இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாடு தனிச்சீரிசையியக்கத்தின் வகைக்கெழு சமன்பாடு (சமன்பாடு 10.10) போன்று அமையவில்லை. 

எனவே, x = A sin ωt + B cos ωt 

என்ற சார்பு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தினைக் குறிக்காது. 

(iii) x=Aeiωt 

இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாடு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் வகைக்கெழு சமன்பாடு (சமன்பாடு 10.10) போன்று அமைந்துள்ளது. எனவே, x = Aeiwt என்பது தனிச்சீரிசை இயக்கத்தைக் குறிக்கும். 

(iv) x = A ln ωt 

இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாடு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் வகைக்கெழு சமன்பாடு (சமன்பாடு 10.10) போன்று அமையவில்லை. எனவே, x = A ln ωt தனிச்சீரிசை இயக்கத்தைக் குறிக்காது.

எடுத்துக்காட்டு 10.4

ஒரு துகளானது தனிச்சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளுவதாக கொள்வோம். x1 நிலையில் துகளானது v1 திசைவேகத்தையும் மற்றும், x2, நிலையில் v2, திசைவேகத்தையும் பெற்றிருப்பதாகக் கருதுவோம். அலைவு நேரம் மற்றும் வீச்சின் தகைவு

எனக் காட்டுக.

தீர்வு 

சமன்பாடு 10.8 ஐப் பயன்படுத்த 

சமன்பாடு (1) லிருந்து சமன்பாடு (2) ஐ கழிக்க, நாம் பெறுவது 

சமன்பாடு (1) லிருந்து சமன்பாடு (2) ஐ வகுக்க, நாம் பெறுவது 

சமன்பாடு (3) ஐ சமன்பாடு (4) ஆல் வகுக்க, நாம் பெறுவது

தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் அலைவுநேரம், அதிர்வெண், கட்டம், கட்ட வேறுபாடு மற்றும் தொடக்கக் கட்டம்

எடுத்துக்காட்டு 10.5

ஒரு செவிலியர் நோயாளி ஒருவரின் சராசரி இதயத்துடிப்பை அளவிட்டுமருத்துவரிடம் 0.8s என்று அலைவு நேரத்தில் குறிப்பிட்டார். நோயாளியின் இதயத்துடிப்பை ஒரு நிமிடத்திற்கான துடிப்புக்களின் எண்ணிக்கையில் கூறவும்.

தீர்வு 

அளவிடப்பட்ட இதயத்துடிப்புக்களின் எண்ணிக்கை f என்க. அலைவு நேரமானது இதயத்துடிப்புக்கு எதிர்விகிதத்தில் அமைவதால்,

1 நிமிடம் என்பது 60 விநாடிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 10.6 

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள தனிச்சீரிசை அலைவுகளுக்கான வீச்சு, கோண அதிர்வெண், அதிர்வெண், அலைவுநேரம் மற்றும் தொடக்கக்கட்டம் ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக.

a. y = 0.3 sin (40πt + 1.1)

b. y = 2 cos (πt)

c. y = 3 sin (2πt − 1.5)

தீர்வு 

தனிச்சீரிசைஅலைவுச்சமன்பாடு y = A sin(ωt + φ0) அல்லது y = A cos(ωt + φ0)

எடுத்துக்காட்டு 10.7 

தனிச்சீரிசை இயக்கத்தில் 

a. இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் திசைவேகத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π/2 ரேடியன் அல்லது 90° 

b. திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π/2 ரேடியன் அல்லது 90° 

c. இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π ரேடியன் அல்லது 180° எனக் காட்டுக.

தீர்வு 

a. தனிச்சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் துகளின் இடப்பெயர்ச்சி

y = A sinωt

துகளின் திசைவேகம் 

v = Aωcos ωt = Aωsin(ωt+ π /2)

இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் திசைவேகத்திற்கிடையேயான கட்ட வேறுபாடு π/2. 

b.துகளின் திசைவேகம்

v = A ω cos ωt 

துகளின் முடுக்கம்

a = Aω2sinωt = Aω2cos(ωt+ π /2)

திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π /2.

c. துகளின் இடப்பெயர்ச்சி

 y = A sinωt 

துகளின் முடுக்கம்

a = − A ω2 sin ωt = A ω2 sin(ωt + π)

இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π ரேடியன்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் நேர்போக்கு சீரிசை அலையியற்றி (LHO)

சுருள்வில்லின் செங்குத்து அலைவுகள்