ஒருபடிச் சமன்பாட்டில் அமைந்த வாக்கியக் கணக்குகள்

ஒருபடிச் சமன்பாட்டில் அமைந்த வாக்கியக் கணக்குகள்

வாக்கியக் கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காண்பதில் சவாலாக இருப்பது கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளைச் சமன்பாடுகளாக மாற்றுவது ஆகும். இதேபோன்று மேலும் பல கணக்குகளைச் சேகரித்து அதற்குத் தீர்வு காண்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.33

இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 36. மேலும் அவற்றுள் ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணைவிட 8 அதிகம் எனில், அந்த எண்களைக் காண்க. 

தீர்வு :

x என்பது சிறிய எண் என்க. எனவே பெரிய எண் x + 8 ஆகும். 

இரண்டு எண்களின் கூடுதல் = 36 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

x + ( x + 8) = 36 

2x + 8 = 36

2x = 36 – 8 

2x = 28  

x  = 28 / 2

x = 14

அதாவது,

சிறிய எண் x = 14

பெரிய எண் x + 8 = 14 + 8 = 22

எடுத்துக்காட்டு 3.34

ஒரு பேருந்தில் உள்ள 56 பயணிகளில் சில பேர் ₹8 இக்கான பயணச் சீட்டையும், மீதி உள்ளவர்கள் ₹10 இக்கான பயணச்சீட்டையும் பெற்று உள்ளனர். பயணிகளிடம் இருந்து பயணச் சீட்டு கட்டணமாக ₹500 பெறப்பட்டுள்ளது எனில், ஒவ்வொரு பயணச் சீட்டு வகையிலும் எத்தனை பயணிகள் உள்ளனர் எனக் காண்க. 

தீர்வு:

₹8 இக்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்று இருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை y என்க. பிறகு ₹10 இக்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்று இருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை 56 – y ஆகும். 

பயணிகளிடம் இருந்து பெறப்பட்ட பயணச்சீட்டுத் தொகை ₹500 

அதாவது,    y × 8 + (56 – y) × 10 = 500

8y + 560 – 10y = 500 

8y – 10y = 500 – 560 

– 2y = – 60

y = 60 / 2 = 30

(i) ஆகவே ₹8 இக்கான பயணச்சீட்டு வைத்துள்ள பயணிகளின் எண்ணிக்கை = 30 

(ii) ₹10 இக்கான பயணச்சீட்டு வைத்துள்ள பயணிகளின் எண்ணிக்கை = 56 – 30 = 26

எடுத்துக்காட்டு 3.35

ஒரு செவ்வக வடிவ நிலத்தின் நீளமானது அந்நிலத்தின் அகலத்தை விட 9மீ அதிகம். அச்செவ்வக வடிவ நிலத்தின் சுற்றளவு 154 மீ எனில் அந்நிலத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

செவ்வக வடிவ நிலத்தின் அகலம் x மீ என்க. எனவே, அந்நிலத்தின் நீளம் x + 9 மீ ஆகும். 

சுற்றளவு = 2 (நீளம் + அகலம்) = 2(x + 9 + x) = 2(2x + 9)

2(2x + 9) = 154 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

4x + 18 = 154

4x = 154 – 18

4x = 136

x = 34

அதாவது, 

(i) செவ்வக வடிவ நிலத்தின் அகலம் 34 மீ 

(ii) செவ்வக வடிவ நிலத்தின் நீளம் = 34 + 9 = 43 மீ

எடுத்துக்காட்டு 3.36

ஒரு மரத்துண்டின் நீளம் 2 மீ ஆகும். அம்மரத்துண்டினை ஒரு தச்சர் இரண்டு துண்டுகளாக அதாவது முதல் துண்டின் அளவானது இரண்டாவது துண்டின் அளவின் இரண்டு மடங்கிலிருந்து 40 செ.மீ குறைவாக வருமாறு வெட்ட நினைத்தார் எனில், சிறிய துண்டின் நீளம் எவ்வளவு? 

தீர்வு:

முதல் துண்டின் நீளம் x செ.மீ என்க. 

எனவே, கணக்கின்படி, இரண்டாவது துண்டின் நீளம் (200 செ.மீ – x செ.மீ) அதாவது (200 – x) செ.மீ 

கொடுக்கப்பட்ட கணக்கின்படி, (மீட்டரைச் சென்டி மீட்டரில் மாற்றவும்) 

முதல் துண்டு = இரண்டாவது துண்டின் இருமடங்கிலிருந்து 40 செ.மீ குறைவு. 

x = 2 × (200 – x) – 40

x = 400 – 2x – 40 

x + 2x = 360

3x = 360

x = 360 / 3 

x = 120 செ.மீ

ஆகவே, முதல் துண்டின் நீளம் = 120 செ.மீ 

இரண்டாவது துண்டின் நீளம் (200 – 120) செ.மீ = 80 செ.மீ, இதுவே சிறிய துண்டின் நீளம் ஆகும்.

சிந்திக்க

இரண்டாவது துண்டின் நீளம் x எனவும், முதல் துண்டின் நீளம் (200 – x) எனவும் எடுத்து இருந்தால் தீர்வின் படிநிலைகள் எப்படி மாறும்? தீர்வு மாறுபட்டு இருக்குமா? 

எடுத்துக்காட்டு 3.37

ஓர் அம்மா தன்னுடைய மகளின் வயதினைப் போல் 5 மடங்கு வயதில் பெரியவர். 2 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, அம்மாவின் வயது, மகளின் வயதைப் போல் நான்கு மடங்கு எனில், அவர்களின் தற்போதைய வயது என்ன?

தீர்வு: 

கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணக்கின்படி, 2 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, அம்மாவின் வயது = மகளின் வயதை போல் நான்கு மடங்கு

5x + 2 = 4 (x +2) 

5x + 2 = 4x + 8

5x – 4x = 8 – 2

x = 6 

எனவே, மகளின் வயது = 6 ஆண்டுகள். 

அம்மாவின் வயது = 5x = 5 × 6 = 30 ஆண்டுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 3.38

ஒரு பின்னத்தின் பகுதியானது அதன் தொகுதியை விட 3 அதிகம். அப்பின்னத்தின் தொகுதியுடன் 2 ஐயும் பகுதியுடன் 9 ஐயும் கூட்ட பின்னமானது என மாறுகிறது எனில், முதலில் எடுத்துக் கொண்ட உண்மையான பின்னம் யாது? 

தீர்வு :

நாம் முதலில் எடுத்துக்கொண்ட பின்னம் என்க.

பகுதி = தொகுதி + 3, அதாவது y = x + 3 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, அந்த பின்னத்தை என எழுதலாம்,

கணக்கின்படி,

குறுக்குப்பெருக்கல் செய்ய கிடைப்பது, 6(x + 2) = 5 (x + 3 + 9)

6x + 12 = 5(x + 12) 

6x + 12 = 5x + 60 

6x – 5x = 60 – 12

x = 60 – 12 

x = 48.

ஆகவே, முதலில் எடுத்துக் கொண்ட பின்னம்

எடுத்துக்காட்டு 3.39

ஓர் ஈரிலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 8 ஆகும். அந்த எண்ணின் மதிப்புடன் 18ஐக் கூட்ட அவ்விலக்கங்கள் இடம் மாறிவிடும் எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க. 

தீர்வு:

ஓர் ஈரிலக்க எண்ணை xy என்க. (அதாவது பத்தாவது இலக்கம் x எனவும், ஒன்றாவது இலக்கம் y எனவும் கொள்க) 

அவ்வெண்ணின் மதிப்பை 10x + y என எழுதலாம்.

= 10x + 8 – x             (x + y = 8 எனக் கொடுக்கப்பட்டு இருப்பதால், y = 8 –  x)

 = 9x + 8

புதிய எண் yx ன் மதிப்பு 10y + x

= 10(8 – x) + x 

= 80 – 10x + x

= 80 – 9x

கணக்கின்படி, கொடுக்கப்பட்ட எண் (xy) உடன் 18 ஐக் கூட்ட புதிய எண் (yx) கிடைக்கிறது.

(9x + 8) + 18 = 80 – 9x

9x + 9x = 80 – 8 – 18 

18x = 54

x = 3

y = 8 – x

y = 8 – 3 = 5 

அந்த ஈரிலக்க எண் xy = 10x + y ⇒ 10(3) + 5 = 30 + 5 = 35

எடுத்துக்காட்டு 3.40

இராஜன் தன் வீட்டிலிருந்து இரு சக்கர வாகனத்தில் மணிக்கு 35 கி.மீ வேகத்தில் சென்று தன்னுடைய அலுவலகத்தை 5 நிமிடம் தாமதமாகச் சென்றடைகிறார். அவர் மணிக்கு 50 கி.மீ வேகத்தில் சென்றிருந்தால், அலுவலகத்தை 4 நிமிடம் முன்னதாகவே சென்றடைந்திருப்பார் எனில் அவருடைய அலுவலகம், வீட்டிலிருந்து எவ்வளவு தூரத்தில் உள்ளது? 

தீர்வு

இராஜனின் அலுவலகத்திற்கும், வீட்டிற்கும் இடையே உள்ள தூரம் 'x' கி.மீ என்க.

நேரம் = தூரம் / வேகம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

வேகம் 1 = 35 கி.மீ/மணி 

வேகம் 2 = 50 கி.மீ/ மணி

'x' கி.மீ தூரத்தை 35 கி.மீ / மணி என்ற வேகத்தில் கடக்க ஆகும் நேரம் T1 = x/35 மணி

'x' கி.மீ தூரத்தை 50 கி.மீ / மணி என்ற வேகத்தில் கடக்க ஆகும் நேரம் T2 = x / 50 மணி கணக்கின்படி, இரண்டு நேரங்களுக்கு இடைப்பட்ட வேறுபாடு

= 4 – (–5) 

= 4 + 5 = 9  நிமிடங்கள் 

= 9 / 60 மணி (நிமிடத்தை மணிக்கு மாற்றுக)

இராஜனின் அலுவலகத்திற்கும், வீட்டிற்கும் இடையே உள்ள தூரம் கி.மீ