நியூட்டன்-லிபினிட்ஸ் தொகையிடல்(Newton-Leibnitz Integral)

நியூட்டன்-லிபினிட்ஸ் தொகையிடல்(Newton-Leibnitz Integral)

தொகையிடல் நுண்கணிதம் முக்கியமாக அறுதியிடப்படாத தொகை (indefinite integral) மற்றும் வரையறுத்த தொகை (definite integral) எனப் பிரிக்கப்படுகிறது. இப்பாடப்பகுதியில் அறுதியிடப்படாத தொகையை அதன் வகையிடலில் இருந்து பெறப்படும் சார்புகளின் மூலமாகப் படிக்கிறோம்.

போன்ற எதிர்மறைச் செயல்முறை ஜோடிகளைப் பற்றி நாம் ஏற்கனவே நன்கு அறிந்துள்ளோம். இதேபோல் தொகையிடலும் வகையிடலும் (d, ∫) கூட ஒன்றுக்கொன்று எதிர்மறைச் செயல்முறைகளின் ஜோடியாகும். வகையிடலின் எதிர்மறைச் செயல்முறையை ‘எதிர் வகையிடல்' என அழைப்போம்.

வரையறை 11.1

I என்னும் இடைவெளியில் ஒவ்வொரு x-க்கும் F'(x) = ƒ(x) என இருந்தால் F(x) என்பத I -ன் மீதான ƒ(x) -ன் எதிர்மறை வகையிடல் (நியூட்டன்-லிபினிட்ஸ் தொகையிடல்) எனப்படும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.1

F (x) = x2 +5 எனில், F'(x) = 2x.

ƒ(x) = 2x, என வரையறுத்தால், ƒ(x) என்பது

F(x)-ன் வகைக்கெழு எனவும், F(x) என்பது ƒ(x)-ன் எதிர் வகைக்கெழு எனவும் அழைக்கப்படும்.

பின்வரும் அட்டவணையைக் காண்க.

F(x), P(x), Q(x) மற்றும் H(x) ஆகியவற்றின் வகையிடல் ƒ(x) எனப் பார்த்தோம். ஆனால் ƒ(x) = 2x -ன் எதிர் வகையிடல் ஒருமைத்தன்மையற்றது. அதாவது ƒ(x)-ன் எதிர் வகையிடல்கள் எண்ணற்ற பல சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.

தேற்றம் 11.1

ஒரு இடைவெளி I -ல் F(x) என்பது ƒ(x)-ன் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர் வகையிடல் எனில் I-ல், ƒ(x)- ன் ஒவ்வொரு எதிர் வகையிடலும் ∫ ƒ(x)dx = F(x)+c  எனக் கிடைக்கப்பெறும். இங்கு C என்பது தன்னிச்சை மாறிலி (arbitrary constant) மற்றும் ƒ(x) -ன் அனைத்து எதிர் வகையிடலையும் C -ன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் மூலம் காணலாம்.

சார்பு ƒ(x) -ஐ தொகைச் சார்பு (Integrand) என அழைக்கிறோம்.

dx -ல் உள்ள x-ஐ தொகையிடல் மாறி அல்லது தொகையீட்டு மாறி (Integrator) என அழைக்கலாம். தொகை காணும் முறையைத் தொகையிடல் அல்லது எதிர் வகையிடல் என அழைக்கலாம்.

Sum என்ற சொல்லின் முதல் எழுத்தான S ஆனது மேலும் கீழுமாக நீட்டப்பட்டு ∫ என்ற வடிவம் பெற்றுத் தொகையீட்டுக் குறியானது.

வகையிடலை உள்ளடக்கிய கணக்குகளில் ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யக்கூடிய எதிர் வகையீட்டின் தீர்வைக் காண விரும்புகிறோம். இக் குறிப்பிட்ட நிபந்தனையைத் தொடக்க நிபந்தனை அல்லது எல்லை நிபந்தனை என அழைக்கிறோம்.

எடுத்துகாட்டாக, dy/dx -ஐ உள்ளடக்கிய சமன்பாட்டில் தொடக்க நிபந்தனைகளாக x = x1 மற்றும் y = y1 எனக் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின், அதன் எதிர் வகையிடலைக் கண்டு, அதில் அமைந்துள்ள தன்னிச்சை மாறிலியான c -ஐ x = x1 மற்றும் y = y1 எனப் பிரதியிட்டுக் காணலாம்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.2

x = 2 எனும்போது y = 10 என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் கூடிய dy/dx = 2x எனும் சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர் வகையிடலைக் காண விழைகிறோம். கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டின்படி,

dy/dx = 2x 

y = ∫ 2xdx

y = x2 + c

y = 10 மற்றும் x = 2, என மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால்

10 = 22 + c ⇒ c = 6 

c = 6 எனப் பிரதியிட y = x2 + 6 என்ற தேவையான எதிர்வகையிடல் சார்பைப் பெறலாம்.